夹具组合定位与自由度分析：六点定位与过定位

机床夹具组合定位与自由度分析笔记：六点定位、移动自由度重复的等效转换、完全/不完全/欠/过定位，与通槽球体圆柱定位方案（含考点）

本文整理《夹具设计中的组合定位与自由度分析》一课，是机械制造工艺”工件六点定位原理”的深入与应用。工件在空间有 6 个自由度（沿 X、Y、Z 的 3 个移动 $\vec X、\vec Y、\vec Z$ 和绕 X、Y、Z 的 3 个转动 $\hat X、\hat Y、\hat Z$），单个定位元件只能限制其中若干个，实际夹具几乎都要靠多个元件组合定位。本文先回顾六点定位和常用定位元件（大平面/支承板/支承钉、长/短圆柱销、长/短 V 形块、三爪卡盘、固定与浮动顶尖）各自限制的自由度；然后重点讲组合定位的三种情况——无重复限制（自由度直接相加）、旋转自由度被重复限制（效果不变、允许）、移动自由度被重复限制（必须用”首要/次要参考面三步法”做等效转换），并用三爪卡盘＋浮动顶尖、两个短圆柱销（引出菱形销/削边销和”一面两销”）两个例子讲透等效转换；接着辨析完全定位、不完全定位、欠定位、过定位四个概念（欠定位绝不允许、过定位有好有坏及消除方法），强调定位与夹紧的区别；最后给出铣平面、铣矩形通槽/非通槽、球体钻过心孔、圆柱体铣通槽等典型定位方案的自由度分析与元件选用。文末附课本例题思路、定位元件-自由度对照表、待核对清单和主动回忆题（含答案要点），适合机床夹具设计自由度分析专题复习。

一、核心结论

• 工件在空间有 6 个自由度：沿 X、Y、Z 的移动 $\vec X、\vec Y、\vec Z$，绕 X、Y、Z 的转动 $\hat X、\hat Y、\hat Z$；定位就是用定位元件合理地限制其中影响加工要求的自由度。
• 常用元件限制自由度（详见正文表格）：大平面/矩形支承板/两块条形支承板/三个支承钉限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$（3 个）；长圆柱销（长心轴）/长 V 形块限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$（4 个）；短圆柱销/短 V 形块（近似球接触）只限制 $\vec X、\vec Y$（2 个）。
• 组合定位三种情况：
  1. 无重复限制：各元件限制的自由度互不重合，组合限制数＝各元件限制数之和，典型即底面 3 钉＋侧面 2 钉＋端面 1 钉的六点定位（共 6 个）；
  2. 旋转自由度被重复限制：转动自由度被重复约束时效果不变、一般允许（如大平面＋长圆柱销都限制 $\hat X、\hat Y$），本质是允许的过定位；
  3. 移动自由度被重复限制：不能简单相加，必须做等效转换。
• 移动自由度重复的等效转换三步法：①在重复元件中区分首要参考面（首参）与次要参考面（次参）——初学可按限制自由度数量多者为首参，实际应按元件参与定位的先后；②假设首参限制移动自由度的作用保持不变；③让次参相对首参在被重复的移动方向上移动，所引起的工件运动形式（动向）就是次参等效限制的自由度（移动常等效成绕某轴转动）。
• 三爪卡盘（短夹持、带轴肩）限制 3 个移动，浮动（弹簧）顶尖只限制 2 个径向移动、轴向因弹簧浮动不限制；二者轴向移动被重复，按三步法，浮动顶尖端沿轴向移动引起工件绕卡盘端点摆动，等效为限制绕相应轴（如 $\hat Y$）的转动。
• 两个短圆柱销（或两块短 V 形块）组合时，第二个销沿两销连心线方向的移动可等效为绕垂直轴（如 $\hat Z$）的转动，垂直连心线方向的移动被共线重复、不能等效；为消除过定位，把第二个圆柱销沿连心线方向削边，做成菱形销（削边销），只限制垂直连心线方向的移动，这就是”一面两销“用一圆柱销＋一菱形销的原理。
• 完全定位：正确分布的 6 个约束点把 6 个自由度全部限制（必须是合理分布、不能有重复）；不完全定位：在满足加工技术要求的前提下，只限制影响加工要求的自由度，约束点少于 6 个（允许且常更经济）。
• 欠定位：必须限制的自由度没有被限制，不能保证加工要求，绝对不允许（如铣台阶有宽度要求却未限制宽度方向移动）。
• 过定位（重复定位/超定位）：同一自由度被两个及以上定位元件重复约束。定位面经机械加工、精度高时，过定位可增加接触点、提高刚度和稳定性，允许甚至必要；定位面是毛坯面或精度低时，过定位会使工件或夹具变形、定位不稳，不允许。
• 消除过定位的方法：撤去多余支承钉（四点改三点）、把两个钉合并成一条长支承板、把多个钉改成一个大平面、一面两销中把第二销改成菱形销。
• 定位≠夹紧：定位是使工件相对夹具/工作台占据正确位置（贴靠定位面即完成）；夹紧是使工件在加工中始终保持该位置、抵抗切削力和振动，定位不负责防止加工中移位。
• 典型方案自由度：铣上平面（保高度/平行度）限 $\vec Z、\hat X、\hat Y$ 共 3 个；铣矩形通槽（槽居中＋槽深）限 $\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y、\hat Z$ 共 5 个（通槽长度方向不限制）；铣有长度要求的非通槽在通槽基础上再加 $\vec X$，共 6 个（完全定位）；球体钻过球心孔只限 $\vec X、\vec Y$ 共 2 个（V 形块/定位套定心）；圆柱体铣通槽限 $\vec X、\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y$ 共 5 个（放开绕自身轴线的转动）。

二、知识结构

• 基础：6 个自由度、六点定位原理
• 单个定位元件限制自由度（表 1-7）
  • 平面类：大平面/支承板/支承钉
  • 外圆/内孔类：长/短圆柱销、长/短 V 形块、定位套
  • 轴类：三爪卡盘（长/短夹持、轴肩）、固定/浮动顶尖
• 组合定位三情况
  • 无重复：直接相加（六点定位）
  • 旋转重复：效果不变、允许
  • 移动重复：首参/次参三步等效转换
  • 实例：卡盘＋浮动顶尖；两短销→菱形销（一面两销）
• 四个定位概念
  • 完全定位 / 不完全定位
  • 欠定位（不允许）/ 过定位（利弊与消除）
• 定位与夹紧的区别
• 定位方案设计：由技术要求反推自由度→选定位元件
  • 铣平面、矩形通槽、非通槽、球钻孔、圆柱通槽

三、详细笔记

3.1 自由度与六点定位原理回顾

• 一个自由刚体在三维空间有且仅有 6 个独立运动：沿 X、Y、Z 三轴的移动（记作 $\vec X、\vec Y、\vec Z$）和绕 X、Y、Z 三轴的转动（记作 $\hat X、\hat Y、\hat Z$）。
• 工件在夹具中定位，就是用定位支承点（定位元件）与工件定位基准面接触，逐个限制这些自由度。经典六点定位：在工件底面布置 3 个不共线支承点限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$，侧面布置 2 个支承点限制 $\vec X、\hat Z$，端面布置 1 个支承点限制 $\vec Y$，6 点合理分布即可限制全部 6 个自由度。
• 实际夹具中很少只用一个定位元件，通常是若干元件组合定位；分析组合定位前，必须先熟练掌握每个定位元件单独使用时限制哪几个自由度（教材表 1-7）。

3.2 常用定位元件及其限制的自由度

• 工件定位基准面大分类：平面、圆孔、外圆柱面、圆锥面；选定位元件先看工件以哪类表面定位。
• 平面定位元件：
  • 一个大平面、一块矩形支承板、两块条形支承板或合理布置的三个支承钉，与工件平面接触，限制沿平面法线方向的移动和绕平面内两轴的转动，共 3 个自由度（如水平面定位限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$）；
  • 一条窄支承板（线接触）相当于 2 点，限制 2 个自由度；单个支承钉（点接触）限制 1 个自由度。
• 圆孔/外圆定位元件：
  • 长圆柱销、长心轴、长 V 形块（与孔或外圆有较长接触）：限制垂直于轴线的两个移动和绕这两个轴的转动，共 4 个（如轴线沿 Z，则限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$），绕自身轴线的转动 $\hat Z$ 和沿自身轴线的移动 $\vec Z$ 不限制；
  • 短圆柱销、短心轴、短 V 形块：接触长度短，可近似看成球（两点）接触，只限制垂直于轴线的两个移动，共 2 个（$\vec X、\vec Y$），不限制任何转动；
  • 定位套等用于对外圆面定心定位。
• 轴类工件的装夹元件：
  • 三爪卡盘：长夹持（夹持长度大）时相当于长圆柱面，限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$（4 个）；短夹持时接触部分很小、近似球接触，不限制转动；当卡盘带轴肩（台阶端面）、工件端面贴靠轴肩时，才额外限制沿轴向的移动 $\vec Z$，若没有轴肩（直接卡入、无端面贴合）则不限制 $\vec Z$。所以同样是三爪卡盘，夹持长短、有无轴肩不同，限制的自由度不同。
  • 固定顶尖（固定顶针）：顶尖伸入工件中心锥孔、位置固定，限制垂直于轴线的径向移动（2 个移动）。
  • 浮动（活动/弹簧）顶尖：顶尖靠弹簧始终顶住中心锥孔、能沿轴向伸缩跟随工件，因此沿轴向（顶针方向）的移动不限制，只限制两个径向移动；它与工件锥孔近似点接触，不限制转动。

3.3 组合定位情况一：无重复限制（自由度相加）

• 当各定位元件单独限制的自由度彼此不重合时，组合后所限制的自由度就是各元件所限自由度之和。
• 最典型的就是 3.1 的六点定位：底面 3 个支承钉限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$，侧面 2 个支承钉限制 $\vec X、\hat Z$，端面 1 个支承钉限制 $\vec Y$，三者没有任何重合，合计正好 6 个。这是最简单、最理想的组合定位。

3.4 组合定位情况二：旋转自由度被重复限制

• 当被重复限制的是转动自由度时，其定位效果不会因重复而改变，一般可不作处理、直接保留，属于允许的过定位。
• 例：大平面＋长圆柱销组合定位（工件以底面贴大平面、以孔套入长销，右端用螺母压紧）。
  • 大平面限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$；
  • 长圆柱销限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$；
  • 其中绕 X、绕 Y 的转动 $\hat X、\hat Y$ 被两者重复限制，按”旋转重复效果不变”，仍保留为限制 $\hat X、\hat Y$，组合后共限制 $\vec X、\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y$（5 个），绕 Z 转动 $\hat Z$ 未限制。
• 分析方法：先分别单独分析每个元件（想象另一个不存在）限制哪些移动、哪些转动，再标出重合项；转动重合直接保留即可。

3.5 组合定位情况三：移动自由度被重复限制（重点、难点）

• 当被重复限制的是移动自由度时，不能像转动重复那样忽略，因为沿同一方向的移动被两个元件重复约束会发生定位干涉，必须重新分析、做等效转换。
• 等效转换三步法：
  1. 分首参、次参：在重复限制移动自由度的几个定位元件中，按它们实际参与定位的先后顺序，确定首要参考面（首参）和次要参考面（次参）的定位元件；初学时若判断不了先后，可暂按”限制自由度数量多的元件为首参、少的为次参”。
  2. 固定首参：假设首要参考面定位元件限制移动自由度的作用保持不变（把首参端视为固定不动）。
  3. 移动次参看动向：让次要参考面定位元件相对首参，在被重复限制的那个移动方向上移动，此时工件所产生的运动形式（是绕哪根轴转动），就是次要参考面在该方向上等效限制的自由度。
• 直观理解：一端固定、另一端沿某方向推移一个刚性工件，工件不会平动而会绕固定端偏转，于是一个”重复的移动”被等效转换成一个”转动”约束。

3.6 等效转换实例一：三爪卡盘＋浮动顶尖

• 定位方式：轴类工件左端用三爪卡盘短夹持（带轴肩），右端用浮动（弹簧）顶尖顶住中心孔。
• 单独分析：
  • 三爪卡盘短夹持、带轴肩：近似球接触不限制转动，因轴肩端面贴合限制轴向移动，故限制 $\vec X、\vec Y、\vec Z$ 3 个移动自由度；
  • 浮动顶尖：弹簧使顶尖沿轴向能伸缩跟随，轴向移动不限制；只在两个径向（X、Y）上与锥孔配合，限制 $\vec X、\vec Y$ 2 个移动自由度，不限制转动。
• 沿轴向（设为 X 方向）的移动被卡盘和浮动顶尖重复限制，需等效转换：
  • 卡盘限制自由度多，为首参（视为固定），浮动顶尖为次参；
  • 让浮动顶尖端沿轴向（X）移动、卡盘端不动，工件将绕卡盘卡持点偏转，其动向是**绕 Y 轴的转动 $\hat Y$**；
  • 故浮动顶尖在轴向重复的那个移动自由度，等效为限制绕 Y 轴转动（若重复的是另一径向移动，则相应等效为绕 X 轴转动，具体以所建坐标系为准）。
• 固定顶尖（无浮动）与浮动顶尖限制的自由度不同，分析时应查教材表 1-7、图 1-7 区分。

3.7 等效转换实例二：两个短圆柱销与菱形销（一面两销）

• 定位方式：工件以底面贴大平面，再用两个短圆柱销（或两块短 V 形块）定位。
• 单独分析：大平面限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$；每个短圆柱销（短 V 形块）限制 $\vec X、\vec Y$ 两个移动，两个销在 $\vec X、\vec Y$ 上都重复。
• 等效转换：取第一个销（固定点）为首参，让第二个短圆柱销相对首参移动：
  • 第二个销沿两销连心线方向（设为 X）移动时，工件绕固定销在水平面内偏转，动向是**绕 Z 轴转动 $\hat Z$**，故该方向移动可等效为限制 $\hat Z$；
  • 第二个销沿垂直连心线方向（Y）移动时，两销约束共线、工件无法产生这种运动，该方向移动不能等效，仍与首参重复（形成过定位）。
• 改善过定位——菱形销（削边销）：把第二个圆柱销沿两销连心线方向削去两边，做成菱形（削边）销。菱形销在连心线方向（X）上不限制移动（留有间隙补偿两孔中心距误差），只限制垂直连心线方向（Y）的移动。于是”一大平面＋一个圆柱销＋一个菱形销”（即一面两销）既限制了全部所需自由度，又避免了沿连心线方向的过定位，是箱体、盖板类零件最常用的典型组合定位方案。

3.8 完全定位与不完全定位

• 完全定位：用正确（合理）分布的 6 个约束点，分别限制工件的全部 6 个自由度（3 移动＋3 转动），使工件在工作台或夹具上占据唯一正确的位置。强调”正确分布”——若名义上 6 点但其中有 3 点重复、漏了某些自由度，不能称为完全定位。
• 不完全定位：根据加工技术要求，只限制影响加工要求的自由度，其余不影响加工质量的自由度允许不限制，约束点数少于 6 个。这是在保证质量前提下的合理简化，夹具更简单、装夹更方便。
• 例：铣削工件上表面，要求保证加工面高度（如 20 mm）和与底面平行：
  • 有高度要求→必须限制高度方向移动 $\vec Z$（数控走刀坐标已固定，工件装高装低都会使高度出错）；
  • 要保证加工面与底面平行、不倾斜→限制绕 X、绕 Y 转动 $\hat X、\hat Y$；
  • 沿 X、Y 的移动和绕 Z 的转动不影响平面铣削（通铣平面、走刀轨迹已编程），可不限制；
  • 故只需限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$ 3 个自由度，是不完全定位。定位元件可用一块矩形支承板、两块长条支承板或三个支承钉；侧面另加的支承条主要为方便夹紧，不承担定位要求。

3.9 欠定位（不允许）

• 欠定位：按加工技术要求必须被限制的自由度没有被限制，致使该保证的尺寸或位置无法保证。欠定位不能保证加工质量，在任何情况下都不允许。
• 例：铣台阶并要求保证台阶宽度和台阶面位置，若定位方案没有限制沿宽度方向的移动，工件在该方向位置不定，台阶宽度就无法保证，即为欠定位。
• 设计准则：凡是影响工序尺寸、位置精度的自由度，都必须有定位元件加以限制。

3.10 过定位（重复定位）及其利弊、消除方法

• 过定位（超定位/重复定位）：同一个自由度被两个或两个以上定位元件重复约束（如 3.4 转动重复、3.7 移动重复都属过定位）。
• 有利的一面（允许且必要）：当工件定位面经过机械加工，表面平整、形状和尺寸位置精度都很高时，增加约束点不会干涉，反而增大接触面积、提高工件的装夹刚度和稳定性，在不影响加工精度的前提下是允许甚至必要的。
• 有害的一面（不允许）：当定位面是毛坯面（粗基准）或虽经加工但精度不高时，重复约束会发生干涉，强行夹紧会使工件或定位元件产生变形，破坏定位。
• 经典例子——四条腿桌子：三点即可确定一个平面，四条腿的桌子放在不平的水泥地上总有一条腿悬空；若强行把第四条腿压到地面，就会使地面或桌腿变形。工件平面定位同理：三个支承钉即可确定平面，若用四个支承钉而工件/元件不够平整，必有一个钉接触不实，强行贴合会使定位面或夹具变形。
• 消除过定位的常用方法：
  • 撤去一个多余支承钉（四点改三点）；
  • 把两个固定支承钉合并成一条长条支承板；
  • 把几个支承钉改成一块完整大平面；
  • 一面两销中把第二个圆柱销改成菱形（削边）销（见 3.7）。
• 快速分析技巧：把共同确定平面的三个支承钉看成一组，再单独分析多出来的支承钉额外限制了哪个自由度。

3.11 定位与夹紧不能混淆

• 定位：使工件相对于机床工作台或夹具占据一个正确的位置；工件贴靠到定位元件上即完成定位，定位解决”位置对不对”。
• 夹紧：工件定位后，用夹紧装置把它压紧、夹牢，使其在加工过程中（受切削力、惯性力、振动时）始终保持在正确位置不发生位移，夹紧解决”加工中动不动”。
• 定位元件只负责确定位置，不负责抵抗切削力；不能因为工件”贴着定位面”就认为它不会移动，保持位置要靠夹紧。设计夹具时定位与夹紧是两个独立环节。

3.12 典型定位方案的自由度分析（由技术要求反推）

• 分析思路：先读工序的尺寸和位置（高度、厚度、对中、对称度、平行度等）要求→逐项判断哪些自由度会影响这些要求→确定至少要限制的自由度→再按工件定位面类型（平面/外圆/孔/锥面）选用能限制这些自由度的定位元件组合。
• 方案 A：铣矩形工件上平面（保高度、平行度）：限 $\vec Z、\hat X、\hat Y$ 共 3 个，不完全定位；用大平面（矩形支承板/两块长条板/三个支承钉），侧面支承条主要用于夹紧。
• 方案 B：铣矩形工件上的通槽（槽在宽度正中、槽底有厚度/深度要求）：
  • 槽深（槽底到工件底面尺寸）→限 $\vec Z$；
  • 槽在宽度方向居中→限 $\vec Y$ 和绕 Z 转动 $\hat Z$（工件在水平面内摆斜，槽就不在中间）；
  • 槽底要平、不歪→限 $\hat X、\hat Y$；
  • 槽沿长度方向贯通，走刀从一端到另一端、可留余量，沿长度方向（X）移动不影响通槽→**不限制 $\vec X$**；
  • 合计限 $\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y、\hat Z$ 5 个，不完全定位；可用大平面＋侧面/端面定位元件组合。
• 方案 C：铣有长度要求的非通槽（中槽）：在方案 B 基础上，槽在长度方向有规定尺寸、不能让工件沿长度方向移动，故再增加限制 $\vec X$，共 6 个自由度，成为完全定位；只需在长度方向端面再加一个支承钉。
• 方案 D：在球体上钻过球心的通孔：球绕球心任意转动都不影响”孔过球心”，钻孔轴向（Z）的高低由程序和钻头保证；只需保证孔在 X、Y 方向通过球心，故只限制 $\vec X、\vec Y$ 2 个移动自由度，其余均不限制，不完全定位；球以外球面定位，属定心定位，可用 V 形块或定位套（定位环） 限制 $\vec X、\vec Y$，实际底部还有支承并需夹紧。
• 方案 E：在圆柱体上铣通槽：与矩形通槽的区别是圆柱可绕自身轴线自由转动而通槽位置不变（绕轴转后铣出的通槽仍在原位），故可放开绕自身轴线的转动 $\hat Z$；需限制 $\vec X、\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y$ 5 个自由度，不完全定位。外圆柱面用长 V 形块限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$（4 个），再用一个端面支承钉（挡销）限制沿轴向移动 $\vec Z$，绕轴转动 $\hat Z$ 放开。

3.13 定位方案设计与元件选用步骤小结

1. 明确本工序要保证的尺寸和位置精度；
2. 逐项确定必须限制的自由度（区分完全/不完全定位，避免欠定位、检查过定位）；
3. 判断工件以何种定位面（平面、圆孔、外圆柱面、圆锥面）定位；
4. 查常用定位元件限制自由度表（表 1-7），选用能恰好限制这些自由度的元件组合（如大平面＋V 形块＋支承钉、一面两销等）；
5. 再另行设计夹紧装置、对刀/导向元件和夹具体。

四、课本例题与案例分析

4.1 圆饼类零件钻孔（课本 24 页例题类型）

• 在圆盘（圆饼）端面上钻孔，要求保证孔轴线与外圆轴线之间的水平距离 a 且两轴线平行。
• 分析：孔深/高度方向要定位（限制轴向移动）；为保证孔轴线相对外圆轴线的距离 a 且平行，工件不能沿径向移动、不能倾斜（限制两个径向移动和绕两径向轴的转动）；工件绕自身轴线（钻孔轴线平行的中心轴）转动不影响该孔位置，可不限制。
• 定位元件：圆饼底面是平面、外圈是外圆柱面，可采用”底面大平面＋外圆 V 形块（或定位套）“组合，再配夹紧装置；大平面限制轴向移动和两个转动，V 形块限制两个径向移动。

4.2 带通槽圆柱体再铣槽（对称度要求）

• 已加工出一条通槽的圆柱体上再加工槽，要求新槽与原槽有对称度（位置对应）关系：除圆柱通槽本身应限制的自由度外，绕圆柱自身轴线的转动这一次必须限制（否则工件绕轴一转，新槽相对原槽的对称位置无法保证），需用伸入原槽的挡销/削边销等阻止其绕轴转动。

4.3 四点平面定位的过定位判别

• 一块工件平面用四个支承钉定位：三点已确定平面，第四点可能悬空；若定位面/支承精度不高即构成过定位。处理：撤去一个钉、或把两钉合并为一条支承板、或改用一块大平面。

4.4 一面两销

• 箱体/盖板”一大平面＋两定位销孔”定位：平面用大平面，两孔用一个圆柱销＋一个菱形销；圆柱销限制两径向移动，菱形销只限制垂直连心线方向移动并补偿孔距误差，避免过定位，同时平面与销共同限制转动，实现完全定位。

五、定位元件与限制自由度对照表

定位元件/组合	接触形式	限制的自由度（轴线沿 Z 为例）	数量
大平面/矩形支承板/两块条板/三个支承钉	面接触	$\vec Z、\hat X、\hat Y$	3
窄支承板（线接触）	线接触	$\vec Z、\hat X$（或 $\hat Y$）	2
单个支承钉	点接触	法线方向 1 个移动	1
长圆柱销/长心轴/长 V 形块	长面接触	$\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$	4
短圆柱销/短心轴/短 V 形块	近似球接触	$\vec X、\vec Y$	2
三爪卡盘（长夹持）	长圆柱面	$\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$	4
三爪卡盘（短夹持、带轴肩）	近似球＋端面	$\vec X、\vec Y、\vec Z$（轴肩限轴向）	3
固定顶尖	锥面接触	两个径向移动	2
浮动（弹簧）顶尖	锥面＋轴向浮动	两个径向移动（轴向不限制）	2
菱形（削边）销	削边圆柱	只限垂直连心线方向移动	1
一面两销（大平面＋圆柱销＋菱形销）	组合	全部 6 个自由度（无过定位）	6

定位概念	含义	是否允许
完全定位	合理 6 点限制全部 6 个自由度	允许
不完全定位	只限影响加工要求的自由度（<6）	允许、常更经济
欠定位	该限的自由度没限	绝不允许
过定位	同一自由度被多个元件重复限制	高精度面可提高刚度（允许）；毛坯/低精度面引起变形（不允许）

六、课堂任务与复习安排

• 完成教材第 24 页（第四版）相应习题（第二、三版页码不同，教师会在平台发布题目并要求拍照上传）：分析各定位方案分别限制了哪些自由度，并思考可选用哪些定位元件；建议把 A、B 两题分析清楚，再完成 C、D 题。
• 复习要求：
  1. 熟记教材表 1-7 各定位元件单独限制的自由度（长 4 短 2、平面 3、顶尖与卡盘的区别）；
  2. 掌握组合定位三种情况，重点会做移动自由度重复的首参/次参等效转换；
  3. 能准确区分完全、不完全、欠、过定位，会判断过定位的利弊并提出消除方法；
  4. 能根据工序技术要求反推必须限制的自由度，并选用定位元件（铣平面、通槽、球钻孔、圆柱通槽、一面两销）。

七、待核对与疑问

问题	原因	建议核对方式
各例题坐标系 X/Y/Z 方向与等效转动轴（绕 X 还是绕 Y）	课堂说明其坐标系与课本未必一致	做题时先按题图统一坐标系再判断
三爪卡盘长/短夹持、有无轴肩限制自由度数目	课堂分情况讨论	查教材表 1-7 与卡盘定位图
固定顶尖与浮动（活动）顶尖各限哪些自由度	录音表述较快	查教材图 1-7、表 1-7（约 16~17 页）
长/短圆柱销、长/短 V 形块”长 4 短 2”	需结合接触长度	查教材定位元件一节
菱形销削边方向与一面两销完整自由度	课堂引出未画全	查教材一面两销/定位误差章节
课本 24 页习题具体编号（第四版/绪论习题 7）	各版页码不同	以教师平台发布题目为准
通槽 5 个、球 2 个、圆柱通槽 5 个自由度	依坐标系设定表述	对照教材例题与答案核对

八、复习与主动回忆

复习清单

1. 用 2 分钟默写出工件的 6 个自由度和六点定位各点限制情况。
2. 用 4 分钟背出大平面、长/短圆柱销、长/短 V 形块、三爪卡盘、固定/浮动顶尖各限制几个、哪几个自由度。
3. 用 4 分钟说出组合定位三种情况及处理方法。
4. 用 5 分钟复述移动自由度重复的”首参/次参三步法”，并各举卡盘＋浮动顶尖、两短销一例。
5. 用 3 分钟说清菱形销为什么能消除一面两销的过定位。
6. 用 3 分钟比较完全、不完全、欠、过定位，举例说明欠定位为何不允许、过定位何时有利何时有害。
7. 用 2 分钟说清定位与夹紧的区别。
8. 用 5 分钟对铣平面、矩形通槽、非通槽、球钻孔、圆柱通槽分别说出应限制的自由度和可选元件。

主动回忆题

1. 工件在空间有哪 6 个自由度？六点定位中底面、侧面、端面的支承点各限制哪些？
2. 大平面、长圆柱销、短圆柱销、长 V 形块、短 V 形块分别限制哪几个自由度？为什么”短”的近似球接触就不限制转动？
3. 组合定位中旋转自由度被重复限制时怎样处理？以大平面＋长圆柱销为例说明。
4. 移动自由度被重复限制时为什么不能直接相加？写出等效转换的三个步骤。
5. 三爪卡盘（短夹持带轴肩）＋浮动顶尖组合中，浮动顶尖轴向重复的移动自由度等效成了什么？为什么？
6. 两个短圆柱销组合为什么会过定位？第二个销沿连心线方向的移动等效成什么？菱形销是怎样消除过定位的？
7. 什么是完全定位、不完全定位？铣工件上平面（保高度和平行度）应限制哪几个自由度，属于哪一种？
8. 什么是欠定位、过定位？各举一例；过定位在什么条件下有利、什么条件下有害？怎样消除平面四点定位的过定位？
9. 定位和夹紧有什么区别？为什么说”工件贴住定位面”还不能保证加工中不动？
10. 分别说出铣矩形通槽、铣有长度要求的非通槽、球体钻过球心孔、圆柱体铣通槽应限制的自由度数量和可选定位元件。

答案要点

1. 6 个自由度是沿 X、Y、Z 的移动 $\vec X、\vec Y、\vec Z$ 和绕 X、Y、Z 的转动 $\hat X、\hat Y、\hat Z$。六点定位：底面 3 个不共线支承点限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$，侧面 2 点限制 $\vec X、\hat Z$，端面 1 点限制 $\vec Y$，合计 6 个且互不重合。
2. 大平面（矩形支承板/两块条板/三个支承钉）限制 $\vec Z、\hat X、\hat Y$（3 个）；长圆柱销、长 V 形块限制 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$（4 个）；短圆柱销、短 V 形块接触长度很短、近似球（两点）接触，只能限制两个径向移动 $\vec X、\vec Y$（2 个），球可在接触窝中任意转动，故不限制转动。
3. 转动自由度被重复限制时定位效果不变，一般允许、直接保留。大平面限 $\vec Z、\hat X、\hat Y$，长圆柱销限 $\vec X、\vec Y、\hat X、\hat Y$，其中 $\hat X、\hat Y$ 重复，仍保留为限制 $\hat X、\hat Y$，组合共限 $\vec X、\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y$ 五个，绕 Z 转动未限。
4. 因为沿同一方向的移动被两个元件重复会产生定位干涉，不能像转动重复那样忽略。三步法：①按参与定位先后（初学可按限制自由度多者）区分首要、次要参考面；②假设首参限制移动的作用不变（固定首参端）；③让次参相对首参在被重复的移动方向上移动，所引起的工件运动形式（绕某轴转动）就是次参等效限制的自由度。
5. 卡盘短夹持带轴肩限制 $\vec X、\vec Y、\vec Z$ 三个移动（为首参、固定），浮动顶尖只限制两个径向移动、轴向因弹簧伸缩不限制；轴向移动被重复，让浮动顶尖端沿轴向移动而卡盘端不动，工件绕卡盘点摆动，动向是绕相应轴（如 Y 轴）的转动，故该重复移动等效为限制绕 Y 轴转动 $\hat Y$。
6. 每个短圆柱销都限制 $\vec X、\vec Y$ 两个移动，两销在垂直连心线方向（Y）的移动被共线重复、工件无法该向运动，形成过定位。第二个销沿两销连心线方向（X）移动时工件绕第一销偏转，等效为绕 Z 轴转动 $\hat Z$。把第二个销沿连心线方向削边做成菱形销后，它在连心线方向（X）不限制移动（补偿两孔中心距误差），只限制垂直连心线方向（Y）的移动，从而消除过定位；大平面＋圆柱销＋菱形销即”一面两销”。
7. 完全定位是用合理分布的 6 点限制全部 6 个自由度；不完全定位是只限制影响加工要求的自由度（少于 6 个）。铣上平面要保证高度必须限 $\vec Z$，要保证加工面与底面平行必须限 $\hat X、\hat Y$，而 $\vec X、\vec Y、\hat Z$ 不影响平面铣削，故只限 $\vec Z、\hat X、\hat Y$ 三个，属于不完全定位。
8. 欠定位是必须限制的自由度没有被限制，如铣台阶有宽度要求却未限制宽度方向移动，台阶宽度无法保证，绝不允许。过定位是同一自由度被两个以上元件重复限制；定位面经加工、精度高时多点接触可提高刚度和稳定性，允许甚至必要；定位面为毛坯面或精度低时强行接触会使工件或夹具变形，不允许。平面四点定位的消除方法：撤去一个支承钉、把两个钉合并成一条长支承板、或把几个钉改成一块大平面。
9. 定位是使工件相对夹具/工作台占据正确位置，贴靠定位面即完成，解决”位置对不对”；夹紧是定位后把工件压牢，使其在切削力、振动下仍保持在正确位置，解决”加工中动不动”。定位元件不负责抵抗切削力，所以工件贴住定位面后仍可能在加工中移动，必须再靠夹紧装置固定。
10. 铣矩形通槽（槽居中＋槽深、长度贯通）限 $\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y、\hat Z$ 共 5 个（放开长度方向 $\vec X$），用大平面加侧/端面元件；铣有长度要求的非通槽在此基础上再加 $\vec X$，共 6 个、完全定位，端面加一支承钉；球体钻过球心孔只限 $\vec X、\vec Y$ 共 2 个（绕球心转动和轴向高低不影响孔过心），用 V 形块或定位套定心、底部另加支撑并夹紧；圆柱体铣通槽限 $\vec X、\vec Y、\vec Z、\hat X、\hat Y$ 共 5 个（放开绕自身轴线的转动），用长 V 形块（限 4 个）加端面支承钉（限轴向移动）。