带传动原理与受力分析：欧拉公式与弹性滑动

机械设计带传动笔记：类型原理（平带/V带/多楔带/圆带/同步带）、包角带长中心距几何计算、紧松边初拉力与欧拉公式微元法推导、V带当量摩擦系数、弹性滑动与打滑、受力功率计算例题（含考点）

本文整理《机械设计·带传动原理与应用》一课。课程先简要复习了棘轮、槽轮等间歇运动机构和第五章”机械设计概论”中的失效形式、设计准则、安全系数与材料选择，随后进入第六章 带传动——这是从”机械原理（机构分析）”转入”机械设计（零件设计）”的开端。正文按六部分展开：第一部分复习间歇机构与设计概论；第二部分讲带传动的组成、工作原理、转速关系与特点；第三部分讲带的类型（平带、V 带、多楔带、圆带、同步带）与 V 带标准；第四部分讲包角、带长、中心距的几何计算；第五部分讲受力分析——初拉力、紧边松边、有效圆周力、功率，以及弹性滑动与打滑；第六部分用微元法推导欧拉公式、介绍 V 带当量摩擦系数，并给出课堂/期末受力计算例题。文末附公式速查表、待核对清单和主动回忆题（含答案要点）。

一、核心结论

• 带传动、链传动都通过中间挠性件（受力撤除后不能完全恢复原状的零件）传递运动和动力，适合两轴中心距较大的场合（如自行车脚踏轴与后轴之间用链传动）。
• 带传动由主动轮、从动轮和传动带三部分组成；开口（平行轴）传动中两轮转向相同（主动轮顺时针、从动轮也顺时针），与一对外啮合齿轮转向相反形成对比。
• 忽略滑动时，带与两轮接触处线速度相等：$v=\pi n_{1}d_{1}=\pi n_{2}d_{2}$，故 $n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2}$，两轮转速与直径成反比，传动比 $i=n_{1}/n_{2}=d_{2}/d_{1}$。
• 按工作原理分两类：摩擦传动（平带、V 带、多楔带、圆带，靠摩擦力，会打滑）和啮合传动（同步带，靠带齿与轮齿啮合，传动比准确、打滑少、效率高，但制造安装精度要求高）。
• 平带截面为矩形、以其内周平面为工作面；V 带截面为等腰梯形、嵌在带轮轮槽中，以两个侧面为工作面，靠楔形增压使摩擦力增大、传动能力更强，应用最广；多楔带是平带与 V 带的结合，用于结构紧凑、大功率，但带厚、柔性较差；圆带用于低速小载荷（如老式缝纫机）。
• V 带是标准件，按国标分普通 V 带、窄 V 带、宽 V 带及不同型号（教材表 6-1）；带的基准长度 $L_{d}$ 取标准系列（表 6-2），计算长度有零头时就近选标准值（如算得 1082mm 选 1080mm），再调整中心距。
• 小带轮包角：$\alpha_{1}\approx180°-\dfrac{(d_{2}-d_{1})\times57.3°}{a}$（$a$ 为中心距，$57.3=180/\pi$）；包角越大接触弧越长、极限摩擦力越大、传动能力越强，小轮包角是薄弱环节。
• 带长近似公式：$L\approx2a+\dfrac{\pi}{2}(d_{1}+d_{2})+\dfrac{(d_{2}-d_{1})^{2}}{4a}$，由两轮上的接触弧长加两段直线段得到；中心距可由该式反求。
• 优点：中心距可以较大、带有弹性能缓冲吸振、过载打滑起保护、结构简单成本低；缺点：外廓尺寸大、需张紧装置并对轴产生附加压力、有弹性滑动使传动比不准确（设计传动比一般 $i\le10$）、带易疲劳寿命较短、效率较低（约 0.9~0.97）。
• 静止预紧时带两边拉力均为初拉力 $F_{0}$；运转后进入主动轮一侧被拉紧为紧边 $F_{1}=F_{0}+F$，另一侧变松为松边 $F_{2}=F_{0}-F$，紧松边位置随转向互换。
• 两个基本关系：$F_{1}+F_{2}=2F_{0}$；有效拉力（圆周力） $F_{e}=F=F_{1}-F_{2}$。
• 功率：$P=Fv$，$P$ 以 kW 计时 $P=\dfrac{Fv}{1000}$；带速 $v=\dfrac{\pi d n}{60\times1000}$（$d$ 用 mm、$n$ 用 r/min）。
• 打滑：当所需圆周力超过接触弧上极限摩擦力的总和时，带与轮发生显著整体相对滑动，是过载引起的失效，会加剧磨损，设计应避免。
• 欧拉公式（临界打滑）：$\dfrac{F_{1}}{F_{2}}=e^{f\alpha}$，由微元法对接触弧积分得到；极限圆周力与初拉力 $F_{0}$、摩擦系数 $f$、包角 $\alpha$ 有关，三者增大都能提高传动能力。
• V 带当量摩擦系数 $f_{v}=\dfrac{f}{\sin(\varphi/2)}>f$（$\varphi$ 为轮槽楔角），故 V 带摩擦力和可传圆周力比平带大，欧拉公式中 V 带用 $f_{v}$ 代替 $f$。
• 复习要点：失效指零件丧失工作能力（失去效用），常见形式有断裂、腐蚀、疲劳、打滑等；强度准则可写为工作应力不超过许用应力 $\sigma\le[\sigma]=\sigma_{\lim}/s$，安全系数 $s$ 越大越安全，设计安全系数应不小于许用（使用）安全系数；此外还有刚度、寿命、振动稳定性等准则。

二、知识结构

• 复习：棘轮/槽轮间歇机构；第五章设计概论（失效、设计准则、安全系数、材料）
• 带传动概述：组成、原理、转向、转速关系 $n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2}$、与齿轮传动对比
• 带的类型：平带、V 带、多楔带、圆带（摩擦）；同步带（啮合）；V 带结构与标准、基准长度
• 几何计算：包角 $\alpha_{1}$、带长 $L$、中心距 $a$
• 特点与应用：优缺点、效率、传动比限制、张紧
• 受力分析：初拉力、紧边松边、$F_{1}+F_{2}=2F_{0}$、圆周力 $F_{1}-F_{2}$、功率、弹性滑动与打滑
• 欧拉公式：微元法推导、$F_{1}/F_{2}=e^{f\alpha}$、V 带当量摩擦系数 $f_{v}$
• 受力计算例题

三、详细笔记

3.1 间歇运动机构与设计概论复习

• 棘轮机构：主动件往复摆动时，棘爪推动棘轮沿一个方向转过一定角度，棘爪回程时沿齿面滑回、与棘轮不发生带动关系，从而实现单向间歇运动；自行车后轮飞轮中的棘轮机构还具有”超越（快速/自由活动）”特性——棘轮与主动件可以彼此独立运动（滑行时脚踏停、轮仍转）。
• 槽轮机构：由带圆柱销的拨盘和带径向槽的槽轮组成。若槽轮有 $n$ 个槽，则拨盘转一周，圆柱销拨动槽轮一次，槽轮转过 $1/n$ 周（如三槽槽轮每次转 1/3 周）；拨盘连续转、槽轮间歇转。时间关系：槽轮运动时间 $t_{2}$ 与静止时间 $\Delta t$ 之和等于拨盘转一周的时间 $t_{1}$，即 $t_{2}+\Delta t=t_{1}$（$t_{1}$ 最大）。
• 失效：零件丧失工作能力（”失去效用”）称为失效，常见形式有断裂、过大塑性变形、腐蚀、疲劳、带传动的打滑等（教材列举了机械零件的主要失效形式）。
• 设计准则：针对不同失效形式制定相应的设计限制，主要包括强度准则、刚度准则、寿命准则、耐磨性准则、振动稳定性准则等。
  • 强度准则可概括为”工作能力量不超过许用量”，如工作应力不超过许用应力：$\sigma\le[\sigma]$（剪切时 $\tau\le[\tau]$）；许用应力由极限应力除以安全系数得到：$[\sigma]=\sigma_{\lim}/s$。
  • 安全系数 $s$ 越大，零件越安全；设计（计算）安全系数应不小于规定的许用（使用）安全系数。
  • 刚度准则要求工作变形（伸长量、挠度等）不超过许用变形；振动稳定性要求工作频率避开零件固有频率（使二者之比足够小或大于约 1.1，避免共振）。
  • 课程设计中齿轮箱箱体等零件的材料可查教材表 5-1 选取，并要兼顾结构工艺性和装配要求。

3.2 带传动的组成、原理与转速关系

• 组成：主动轮 1、从动轮 2 和张紧在两轮上的传动带 3。套在主动轴、从动轴上的轮分别称主动轮、从动轮。
• 工作原理（摩擦传动）：主动轮转动时，靠带与轮接触面间的摩擦力拖动带，带再靠摩擦力拖动从动轮，从而把运动和动力由主动轴传到从动轴。
• 转向：平行轴开口传动中，主动轮与从动轮转向相同；而一对外啮合圆柱齿轮转向相反，注意对比。
• 转速（传动比）关系：带不可伸长、且与轮接触处无滑动时，带在主动轮上离开的线速度与在从动轮上进入的线速度相等。由 $v=\omega r=2\pi n\cdot d/2=\pi nd$：

$$\pi n_{1}d_{1}=\pi n_{2}d_{2};\Rightarrow; n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2},\qquad i=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{d_{2}}{d_{1}}$$

即两轮转速与带轮直径成反比（弹性滑动会使实际传动比略有变化、并不严格恒定）。

• 与齿轮传动相比：带和带轮结构简单（无需加工轮齿）、成本低，最突出的是允许两轴中心距较大；缺点是外廓不紧凑。

3.3 带传动的类型

• （一）摩擦传动——靠带与带轮间摩擦传力，是带传动的主要形式，存在打滑：
  • 平带：截面为矩形，以内周平面与带轮圆柱面接触，工作面是平面；带轮轮缘为光滑圆柱面，多用于两轴平行的传动。
  • V 带：截面为等腰梯形（梯形两边延长相交成 V 形，故名），带轮上加工出相应的环形轮槽，V 带嵌入轮槽，工作面是两个侧面而不是底面。相同张紧条件下，楔形槽产生的法向压力和摩擦力比平带大，因而传动能力强、能传递更大功率，在中小型及许多大型机械中应用最广。
  • 多楔带（多楔/组合带）：相当于平带与 V 带结合，带的内周有多条纵向 V 形楔、背部为平带，兼有侧面和底面接触、接触面积大，用于结构紧凑、传递功率较大的场合；因带厚增大，挠性（柔性）相对较差。注意其截面与同步带不同，不要混淆。
  • 圆带（圆形带）：截面为圆形，如老式缝纫机上的带，用于载荷小、速度低的场合。
• （二）啮合传动——同步带（同步齿形带）：带的内周（或内、外周）做出等距齿，与带轮上的齿相啮合来传动，不是靠摩擦，因而打滑概率很小、传动比准确、效率较高，但带和带轮制造、安装精度要求较高，在小型设备、要求同步的场合应用多。

3.4 V 带的结构与标准

• V 带截面由顶胶、底胶（橡胶）、包布和中间的抗拉层（线绳/帘布填充材料）组成。
• 按截面尺寸分普通 V 带、窄 V 带、宽 V 带；普通 V 带按国家标准分若干型号（见教材表 6-1），各型号截面尺寸和传递功率范围不同。V 带是标准件（对应国家标准号）。
• **基准长度 $L_{d}$**：V 带长度已标准化（教材表 6-2）。设计时由带轮直径和中心距算出的几何长度往往带小数或零头（例如算得 1082mm），不能逐根非标制作，应就近选取标准基准长度（如 1080mm），多余/不足的量通过调整中心距（配修正系数）来补偿——这与齿轮设计中算出模数 $m=2.3$ 要就近选标准模数 2.5 的做法类似。

3.5 带传动的几何参数计算

• 几何关系：带在小轮上的离开点、在大轮上的进入点都是带与轮的切点；两轮轴线间距离称中心距 $a$。设切点半径与两轴连心线之间的夹角为 $\theta$（注意与槽轮机构中的角区分）。
• 包角：带与带轮接触弧所对的圆心角称包角。由几何，小轮包角 $\alpha_{1}=180°-2\theta$；在由中心距 $a$ 和两轮半径差 $(d_{2}/2-d_{1}/2)$ 构成的直角三角形中：

$$\sin\theta=\frac{d_{2}/2-d_{1}/2}{a}=\frac{d_{2}-d_{1}}{2a}$$

当 $\theta$ 很小时取小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$（弧度），则 $\alpha_{1}\approx\pi-\dfrac{d_{2}-d_{1}}{a}$（弧度），换算为角度：

$$\boxed{\alpha_{1}\approx180°-\frac{(d_{2}-d_{1})\times57.3°}{a}},\qquad 57.3=\frac{180}{\pi}$$

• 包角越大，接触弧越长，能提供的极限摩擦力总和越大、传动能力越强；小轮包角总小于大轮包角，是限制传动能力的薄弱环节，设计时要校核小轮包角不能过小。
• 带长：带的总长度等于小轮上的接触弧长 + 大轮上的接触弧长 + 两段直边长度。
  • 小轮弧长 $=\dfrac{\alpha_{1}}{2\pi}\pi d_{1}=\dfrac{\alpha_{1}d_{1}}{2}$，大轮弧长 $=\dfrac{\alpha_{2}d_{2}}{2}$（$\alpha_{2}=\pi+2\theta$）；
  • 每段直边在直角三角形中为 $a\cos\theta$，两段共 $2a\cos\theta$；
  • 相加并利用 $\theta$ 很小（$\cos\theta\approx1$）化简，得常用近似式：

$$\boxed{L\approx2a+\frac{\pi}{2}(d_{1}+d_{2})+\frac{(d_{2}-d_{1})^{2}}{4a}}$$

• 中心距：已知带长（选定的基准长度 $L_{d}$）和带轮直径时，可由上式反求所需中心距；实际设计是初定中心距→算带长→选标准基准长度→再反求并确定实际中心距。$a$、$d_{1}$、$d_{2}$、$L$、$\alpha$ 相互关联，需配合选取。

3.6 带传动的特点、应用与效率

• 优点：①适用于两轴中心距较大的传动；②带为橡胶等非金属、具有弹性，能缓冲、吸收振动，传动平稳；③过载时带在轮上打滑，可保护其他零件（过载保护）；④结构简单、制造安装方便、成本低。
• 缺点：①中心距大、带较长，传动外廓尺寸大、不紧凑；②需要张紧装置，张紧力会对轴和轴承产生附加压力（过松易打滑、过紧增大轴的载荷）；③存在不可避免的弹性滑动，不能保证准确、恒定的传动比（一般设计传动比 $i\le10$）；④靠摩擦传力、带为非金属，长期受交变应力易疲劳，寿命较短；⑤效率较低。
• 效率：带传动效率约为 0.9~0.97（平带偏低、同步带可较高）；作为对比，联轴器可达 0.98~0.99，而蜗轮蜗杆传动可能低至 0.7 左右。

3.7 带传动的受力分析

• **初拉力 $F_{0}$**：安装时把带以一定的初拉力张紧在两轮上；静止（不传动）时，带两侧拉力都等于 $F_{0}$，对轮的作用相互平衡。
• 紧边与松边：运转传力时，接触面上产生摩擦力。进入主动轮、被进一步拉紧的一侧拉力增大，称紧边，拉力为 $F_{1}$；离开主动轮、拉力减小的一侧称松边，拉力为 $F_{2}$：

$$F_{1}=F_{0}+F,\qquad F_{2}=F_{0}-F$$

紧边、松边的位置随带轮转动方向改变而互换。

• 两个基本关系：

$$\boxed{F_{1}+F_{2}=2F_{0}},\qquad \boxed{F_{e}=F=F_{1}-F_{2}}$$

其中有效拉力 $F_{e}$（又称圆周力）等于紧、松边拉力之差，相当于带作用在带轮圆周上的合力（如同拔河时两边拉力之差）。

• 功率与带速：力乘以速度得功率，$P=Fv$；$P$ 用 kW、$F$ 用 N、$v$ 用 m/s 时：

$$P=\frac{Fv}{1000},\qquad v=\frac{\pi d n}{60\times1000}\ (d\text{ 取 mm},,n\text{ 取 r/min})$$

3.8 弹性滑动与打滑

• 弹性滑动：带是弹性体，紧边、松边拉力不同导致弹性伸长量不同，带在绕上、绕离带轮的过程中与轮面发生微量的相对滑动。弹性滑动是摩擦式带传动固有、不可避免的现象，它使从动轮实际转速略低于理论值、传动比不恒定，并造成功率损失和带的磨损。
• 打滑：当需要传递的圆周力 $F$ 超过带与轮接触弧上极限摩擦力的总和 $F_{f}$ 时，带与带轮之间发生显著的、整体的相对滑动，称打滑。打滑由过载引起，是一种失效形式，会使传动剧烈磨损、不能正常工作；正常设计应避免打滑（但突发过载时打滑客观上起保护作用）。
• 二者区别：弹性滑动是局部、微量、正常且不可避免的；打滑是整体、显著、过载失效、应当避免。

3.9 欧拉公式及其微元法推导（难点）

• 在临界打滑状态下，取带在带轮接触弧上的一微小弧段，其所对圆心角为 $\Delta\alpha$，微元一端拉力为 $F$、另一端为 $F+\Delta F$；微元还受带轮的法向支持力 $\Delta F_{n}$，临界时最大摩擦力 $\Delta F_{f}=f\Delta F_{n}$。两端拉力方向各与微元中点法线成 $\Delta\alpha/2$ 角。
• 列微元的力平衡方程（匀速、临界）：
  • 法向：$\Delta F_{n}=(F+\Delta F)\sin\dfrac{\Delta\alpha}{2}+F\sin\dfrac{\Delta\alpha}{2}$；
  • 切向：$f\Delta F_{n}=(F+\Delta F)\cos\dfrac{\Delta\alpha}{2}-F\cos\dfrac{\Delta\alpha}{2}$。
• 当 $\Delta\alpha\to0$，用小角度近似 $\sin(\Delta\alpha/2)\approx\Delta\alpha/2$、$\cos(\Delta\alpha/2)\approx1$，并略去二阶微量 $\Delta F\cdot\Delta\alpha$，得：

$$\Delta F_{n}\approx F,\Delta\alpha,\qquad f\Delta F_{n}\approx\Delta F;\Rightarrow;\frac{dF}{F}=f,d\alpha$$

• 对小带轮整个包角（拉力由松边 $F_{2}$ 增大到紧边 $F_{1}$，角度由 $0$ 到 $\alpha_{1}$）积分：

$$\int_{F_{2}}^{F_{1}}\frac{dF}{F}=f\int_{0}^{\alpha_{1}}d\alpha;\Rightarrow;\ln\frac{F_{1}}{F_{2}}=f\alpha_{1}$$

$$\boxed{\frac{F_{1}}{F_{2}}=e^{f\alpha_{1}}}\quad\text{（欧拉公式，临界状态）}$$

• 结论：带传动的极限圆周力（传动能力）与初拉力 $F_{0}$、摩擦系数 $f$、包角 $\alpha$ 有关；增大初拉力、增大摩擦系数、增大小轮包角，都能提高能传递的最大圆周力。

3.10 V 带的当量摩擦系数

• 平带以底面压紧轮面，若正压力为 $F_{Q}$，则摩擦力为 $fF_{Q}$。
• V 带以两个侧面压在轮槽上，槽面的楔形增压作用使侧面法向力增大。引入当量摩擦系数：

$$\boxed{f_{v}=\frac{f}{\sin(\varphi/2)}}$$

其中 $\varphi$ 为 V 带轮槽的楔角（夹角）。因 $\sin(\varphi/2)<1$，故 $f_{v}>f$。

• 于是 V 带的极限拉力关系为 $\dfrac{F_{1}}{F_{2}}=e^{f_{v}\alpha}$，在相同条件下 V 带摩擦力更大、极限圆周力更大、能传递更大功率——这从受力上解释了为什么 V 带传动能力强、应用比平带广。

四、例题与案例分析

4.1 带传动受力计算（课堂/期末题型）

• 题目：已知一带传动传递功率 $P=7.5,\text{kW}$，主动轮直径 $d_{1}=100,\text{mm}$，转速 $n_{1}=1200,\text{r/min}$，且紧边拉力 $F_{1}$ 为松边拉力 $F_{2}$ 的 2 倍（$F_{1}=2F_{2}$）。求带速 $v$、有效圆周力 $F$、紧松边拉力 $F_{1},F_{2}$ 和初拉力 $F_{0}$。
• 解（按公式计算，具体数值以教材/题给为准）：
  1. 带速：$v=\dfrac{\pi d_{1}n_{1}}{60\times1000}=\dfrac{\pi\times100\times1200}{60000}=2\pi\approx6.28,\text{m/s}$；
  2. 圆周力：$F=\dfrac{1000P}{v}=\dfrac{1000\times7.5}{6.28}\approx1194,\text{N}$；
  3. 由 $F=F_{1}-F_{2}$ 与 $F_{1}=2F_{2}$，得 $F=F_{2}$，故 $F_{2}\approx1194,\text{N}$，$F_{1}\approx2388,\text{N}$；
  4. 初拉力：$F_{0}=\dfrac{F_{1}+F_{2}}{2}\approx\dfrac{2388+1194}{2}\approx1791,\text{N}$。
• 说明：本题关键是先用 $P$、$d$、$n$ 求出 $v$ 和圆周力 $F$，再联立 $F=F_{1}-F_{2}$、$F_{1}+F_{2}=2F_{0}$ 及题给紧松边倍数关系求解。

4.2 包角与带长计算

• 给定 $d_{1},d_{2},a$，先用 $\alpha_{1}\approx180°-(d_{2}-d_{1})\times57.3°/a$ 校核小轮包角是否足够，再用 $L\approx2a+\dfrac{\pi}{2}(d_{1}+d_{2})+\dfrac{(d_{2}-d_{1})^{2}}{4a}$ 计算带长并就近选标准基准长度 $L_{d}$，最后反求实际中心距。

4.3 V 带与平带传动能力比较

• 用 $f_{v}=f/\sin(\varphi/2)>f$ 说明在相同初拉力、包角下 V 带极限圆周力更大，故相同尺寸 V 带能传递更大功率。

4.4 弹性滑动与打滑辨析

• 判断”带传动传动比不准确”源于弹性滑动（不可避免），”过载时剧烈磨损、不能工作”源于打滑（应避免）；说明二者成因、性质和后果的区别。

五、公式与术语速查表

项目	公式 / 结论
转速关系	$n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2}$，$i=n_{1}/n_{2}=d_{2}/d_{1}$
带速	$v=\pi nd/60$（d 取 m）；$v=\pi dn/(60\times1000)$（d 取 mm）
小轮包角	$\alpha_{1}\approx180°-(d_{2}-d_{1})\times57.3°/a$，$57.3=180/\pi$
带长近似式	$L\approx2a+\dfrac{\pi}{2}(d_{1}+d_{2})+\dfrac{(d_{2}-d_{1})^{2}}{4a}$
初拉力关系	$F_{1}+F_{2}=2F_{0}$
有效圆周力	$F_{e}=F=F_{1}-F_{2}$
功率	$P=Fv$；$P(\text{kW})=Fv/1000$
欧拉公式	$F_{1}/F_{2}=e^{f\alpha}$（临界打滑）
V 带当量摩擦系数	$f_{v}=f/\sin(\varphi/2)>f$，V 带用 $e^{f_{v}\alpha}$
强度准则	$\sigma\le[\sigma]=\sigma_{\lim}/s$，$s$ 越大越安全
效率	带传动约 0.90.97；联轴器约 0.980.99；蜗轮蜗杆约 0.7
传动比限制	摩擦带传动一般 $i\le10$
类型	摩擦：平带/V 带/多楔带/圆带；啮合：同步带
工作面	平带为内周平面；V 带为轮槽内两侧面
滑动	弹性滑动不可避免（传动比不准）；打滑为过载失效（应避免）

六、课堂任务与复习安排

• 本章重点（教材小节 2~5）：带传动工作原理、受力分析、弹性滑动、失效形式、V 带设计；难点是受力分析（欧拉公式推导）和弹性滑动；小节 6、7 为了解内容。
• 复习要求：
  1. 能说清带传动组成、转向、转速与直径成反比关系及与齿轮传动的区别；
  2. 能区分平带、V 带、多楔带、圆带、同步带的结构、工作面和适用场合；
  3. 会推导/运用包角公式和带长近似公式，知道基准长度要选标准值；
  4. 牢记 $F_{1}+F_{2}=2F_{0}$、$F=F_{1}-F_{2}$、$P=Fv/1000$；
  5. 能区分弹性滑动与打滑，说明打滑条件；
  6. 能用微元法复述欧拉公式推导，记住 $F_{1}/F_{2}=e^{f\alpha}$ 和 V 带当量摩擦系数；
  7. 会做带传动受力计算例题；
  8. 回顾失效形式、设计准则和安全系数概念。

七、待核对与疑问

问题	原因	建议核对方式
带长近似公式系数与精确展开	录音为口语化推导	对照教材带长几何公式
V 带轮槽楔角 $\varphi$ 具体度数及小轮槽角变化	录音未给数值	查教材 V 带轮槽角表（常见 32°/34°/38° 等）
小轮包角许用最小值（如 ≥120°）	录音未明确	查教材 V 带设计包角条件
例题各力数值（v≈6.28、F≈1194N 等）	录音只讲方法、数字含糊	按题给数据用公式复算
V 带型号字母系列与基准长度表	录音只提表 6-1/6-2	查教材表 6-1、表 6-2
传动比 $i\le10$、效率 0.9~0.97 等范围	录音口述	以教材数值为准
振动稳定性频率比”大于 1.1”等表述	录音含糊	查教材振动稳定性准则

八、复习与主动回忆

复习清单

1. 用 3 分钟复述棘轮、槽轮间歇运动特点和槽轮时间关系。
2. 用 3 分钟说清失效、强度准则和安全系数概念。
3. 用 4 分钟讲清带传动组成、转向和 $n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2}$。
4. 用 5 分钟比较五类带（平/V/多楔/圆/同步）的结构、工作面和场合。
5. 用 5 分钟推导包角公式、写出带长近似式并说明基准长度选取。
6. 用 5 分钟讲清初拉力、紧松边、圆周力、功率关系。
7. 用 4 分钟区分弹性滑动与打滑。
8. 用 8 分钟用微元法推导欧拉公式，说明 V 带当量摩擦系数。

主动回忆题

1. 带传动由哪三部分组成？开口传动中两轮转向是相同还是相反？与一对外啮合齿轮有何不同？
2. 为什么说带传动两轮转速与带轮直径成反比？写出关系式。
3. 平带、V 带、多楔带、圆带、同步带各以什么面工作、靠什么传力？分别适用于什么场合？
4. V 带为什么传动能力比平带强？什么是当量摩擦系数？
5. 写出小带轮包角公式并说明 57.3 的来历；为什么要校核小轮包角？
6. 写出带长近似公式，说明它由哪几部分组成；计算带长有零头时怎样确定基准长度？
7. 什么是初拉力、紧边、松边？写出 $F_{1},F_{2},F_{0}$ 之间的两个基本关系和功率公式。
8. 弹性滑动和打滑有什么本质区别？打滑的条件是什么？
9. 试述用微元法推导欧拉公式的步骤，写出欧拉公式，并说明极限圆周力与哪些因素有关。
10. 带传动功率 $P=7.5$kW、$d_{1}=100$mm、$n_{1}=1200$r/min、$F_{1}=2F_{2}$，怎样求带速、圆周力、$F_{1},F_{2},F_{0}$？

答案要点

1. 由主动轮、从动轮和张紧在两轮上的传动带组成；平行轴开口传动两轮转向相同（主动轮顺时针从动轮也顺时针）；一对外啮合圆柱齿轮两轮转向相反，这是明显区别。
2. 忽略滑动时带与两轮接触处线速度相等，$v=\pi n_{1}d_{1}=\pi n_{2}d_{2}$，故 $n_{1}d_{1}=n_{2}d_{2}$、$i=n_{1}/n_{2}=d_{2}/d_{1}$，转速与直径成反比；弹性滑动会使实际传动比略有偏差。
3. 平带截面矩形、以内周平面为工作面；V 带截面等腰梯形、嵌入轮槽，以两个侧面为工作面，楔形增压、摩擦力大、传动能力强、应用最广；多楔带是平带与 V 带结合、接触面大、用于紧凑大功率但柔性较差；圆带截面圆形、用于低速小载（缝纫机）；以上四种靠摩擦传力；同步带靠带齿与轮齿啮合传力，传动比准确、打滑少、效率高，但制造安装精度要求高。
4. V 带靠轮槽两侧面工作，楔形槽使侧面法向力增大，引入当量摩擦系数 $f_{v}=f/\sin(\varphi/2)$，因 $\sin(\varphi/2)<1$ 故 $f_{v}>f$，极限摩擦力和圆周力更大，所以相同条件下 V 带能传递更大功率、传动能力更强。
5. 小轮包角 $\alpha_{1}\approx180°-(d_{2}-d_{1})\times57.3°/a$；由 $\sin\theta=(d_{2}-d_{1})/(2a)$、$\alpha_{1}=180°-2\theta$，小角度近似后把弧度乘 $180/\pi$ 化为角度，$180/\pi\approx57.3$。包角越大接触弧越长、极限摩擦力越大，小轮包角总小于大轮、是薄弱环节，故须校核其不小于规定值。
6. $L\approx2a+\dfrac{\pi}{2}(d_{1}+d_{2})+\dfrac{(d_{2}-d_{1})^{2}}{4a}$，由小轮接触弧长、大轮接触弧长和两段直边（约 $2a$）相加并取小角度近似得到。计算长度常有零头，不能非标制作，应就近选国家标准基准长度 $L_{d}$（如算得 1082mm 选 1080mm），再据此反求、调整实际中心距。
7. 安装预紧后静止时带两边拉力均为初拉力 $F_{0}$；运转时进入主动轮一侧被拉紧为紧边 $F_{1}=F_{0}+F$，另一侧变松为松边 $F_{2}=F_{0}-F$，位置随转向互换。基本关系：$F_{1}+F_{2}=2F_{0}$；有效圆周力 $F=F_{1}-F_{2}$。功率 $P=Fv$，以 kW 计时 $P=Fv/1000$，$v=\pi dn/(60\times1000)$（d 取 mm）。
8. 弹性滑动是带的弹性变形随紧松边拉力变化而引起的局部、微量相对滑动，是摩擦带传动固有、不可避免的，使传动比不恒定；打滑是所需圆周力超过接触弧极限摩擦力总和时发生的整体、显著相对滑动，由过载引起、是失效形式，会剧烈磨损、应避免（过载时也有保护作用）。
9. 临界状态在接触弧取圆心角 $\Delta\alpha$ 的微元，受两端拉力 $F$、$F+\Delta F$、法向力 $\Delta F_{n}$ 和临界摩擦力 $f\Delta F_{n}$；列法向、切向平衡方程，用 $\sin(\Delta\alpha/2)\approx\Delta\alpha/2$、$\cos(\Delta\alpha/2)\approx1$ 并略去二阶微量得 $dF/F=f,d\alpha$；从松边 $F_{2}$ 到紧边 $F_{1}$、角度 $0$ 到 $\alpha$ 积分得 $\ln(F_{1}/F_{2})=f\alpha$，即 $F_{1}/F_{2}=e^{f\alpha}$。极限圆周力随初拉力 $F_{0}$、摩擦系数 $f$、包角 $\alpha$ 增大而提高。
10. 先求带速 $v=\pi d_{1}n_{1}/(60\times1000)=\pi\times100\times1200/60000=2\pi\approx6.28$ m/s；再求圆周力 $F=1000P/v\approx1000\times7.5/6.28\approx1194$ N；由 $F=F_{1}-F_{2}$ 与 $F_{1}=2F_{2}$ 得 $F=F_{2}$，故 $F_{2}\approx1194$ N、$F_{1}\approx2388$ N；初拉力 $F_{0}=(F_{1}+F_{2})/2\approx1791$ N。（数值按公式复算，以题给/教材为准）