蜗杆传动：几何计算、受力分析与热平衡（LaTeX 公式版）

机械设计蜗杆传动笔记：蜗轮蜗杆自锁与分类、正确啮合条件、导程角与 d1=mq 几何计算、交错轴受力分析（Fa1=Ft2）、滑动速度、效率组成与热平衡计算、蜗轮材料结构（含齿轮传动复习与三级减速综合例题）

本节是《机械设计》第八章蜗杆传动的新授课，开头先用一段时间快速复习第七章齿轮传动（齿廓啮合定律、渐开线特性、模数、正确啮合与连续传动条件、五种失效、设计准则、受力三分力），随后系统讲蜗杆传动：组成与特点、分类、正确啮合条件、以导程角和直径系数为核心的几何尺寸计算、交错轴受力分析（本章最大易错点）、滑动速度、效率与润滑、热平衡计算、材料与结构，最后用教材例 8-1 和一道”锥齿轮 + 斜齿 + 蜗杆”三级减速综合题把旋向、转向、分力判断串起来。

齿轮传动的完整手册见同系列齿轮篇；本篇齿轮部分只作提纲式复习，重点放在蜗杆传动。

---

一、核心结论（先记住这 18 条）

1. 蜗杆传动由蜗杆（主动件，形如螺杆，齿数称”头数” $z_1$）和蜗轮（从动件，齿数 $z_2$）组成，用于传递空间两交错轴（通常交错 $90°$）之间的运动和动力。
2. 蜗杆传动的突出特点：单级传动比大（可达几十、几百甚至上千）、传动平稳噪声小、可以自锁（导程角小、摩擦大时蜗轮带不动蜗杆，可吊住重物不下落）；但同时啮合齿数少、相对滑动大、效率低、易磨损和胶合、成本较高（蜗轮常用青铜）。
3. 蜗杆一般是主动件；判断旋向时人站在与轴线平行的方向看，齿向线斜向右上为右旋、斜向左上为左旋。
4. 按蜗杆形状分圆柱蜗杆、环面（弧面）蜗杆、锥蜗杆三类；普通圆柱蜗杆按轴向（法向）齿廓又分阿基米德蜗杆 ZA（轴向齿廓两侧都是直线）、渐开线蜗杆 ZI（一侧直一侧凸）、法向直廓蜗杆 ZN（法向齿廓为直线）。
5. 正确啮合三条件：蜗杆轴向模数 = 蜗轮端面模数（$m_{a1}=m_{t2}=m$）；蜗杆轴向压力角 = 蜗轮端面压力角（$\alpha_{a1}=\alpha_{t2}$）；蜗杆导程角 = 蜗轮螺旋角且旋向相同（$\gamma=\beta_2$）。
6. 角标含义：**$a$ 表示轴向（axial），$t$ 表示端面/圆周方向（transverse）**；蜗杆的模数、压力角取轴向值，蜗轮取端面值——这是出现 $a$、$t$ 不同角标的原因。
7. **蜗杆分度圆直径不能像齿轮那样写成 $d_1=mz_1$，而要引入直径系数（特性系数）$q$**：$\boxed{d_1=mq}$；蜗轮则正常：$d_2=mz_2$。这是本章第一易错点。
8. 导程角 $\gamma$ 满足 $\tan\gamma=\dfrac{z_1 p_x}{\pi d_1}=\dfrac{mz_1}{d_1}$，即 $d_1=\dfrac{mz_1}{\tan\gamma}$；齿距 $p_x=\pi m$，导程 $P_z=z_1p_x$（单头 $z_1=1$ 时导程 = 齿距）。
9. 蜗杆头数 $z_1$ 常取 1、2、4（$z_1=1$ 称单头/单级，余为多头）；头数越多效率越高，但螺旋线越多、加工越难、精度越难保证，工程上最多取 1、2。蜗轮齿数 $z_2$ 推荐 28～80（教材约从 27 起），过大会使蜗轮尺寸和加工难度增大。
10. 传动比 $\boxed{i=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{z_2}{z_1}}}$（齿数反比、转速正比），但 **$i\neq\dfrac{d_2}{d_1}$**（因为 $d_1\neq mz_1$，$\dfrac{d_2}{d_1}=\dfrac{z_2}{q}$）。这是本章第二易错点。
11. 中心距与齿轮一致：$a=\dfrac{d_1+d_2}{2}$。
12. 蜗杆传动接触线由短变长再变短、传动较平稳，轮齿折断较少；因相对滑动大、发热大，主要失效形式是齿面磨损和胶合，且失效多发生在蜗轮轮齿上（蜗轮齿较薄）。
13. 设计准则：闭式蜗杆传动按蜗轮齿面接触疲劳强度设计，不再校核齿根弯曲疲劳强度，但必须做热平衡计算；开式蜗杆传动按齿根弯曲疲劳强度设计。
14. 材料要减摩、耐磨、抗胶合：蜗杆用合金钢或碳钢（重载用 20Cr、20CrMnTi 等渗碳淬火，普通用 45 钢调质）；蜗轮用青铜（高速/高滑动速度用铸造锡青铜，低速用铸造铝青铜等无锡青铜，速度很低时轮缘可用灰铸铁）。
15. 交错轴受力配对（与平行轴齿轮不同，务必记牢）：$\boxed{F_{a1}=-F_{t2}}$、$\boxed{F_{t1}=-F_{a2}}$、$\boxed{F_{r1}=-F_{r2}}$；径向力都指向各自轮心。
16. 蜗杆轴向力 $F_{a1}$ 用左右手定则判（左旋用左手、右旋用右手，四指顺蜗杆转向 $n_1$，大拇指即 $F_{a1}$ 方向），手则只能用于主动件蜗杆；蜗轮是从动件，其圆周力 $F_{t2}=-F_{a1}$ 与蜗轮转向 $n_2$ 相同（”主动反从动”），故 $F_{a1}$ 与 $n_2$ 方向相反。
17. 交错轴存在滑动速度 $\vec v_s=\vec v_1-\vec v_2$，$v_s=\dfrac{v_1}{\cos\gamma}>v_1$，$v_s$ 与 $v_1$ 夹角为导程角 $\gamma$；它是磨损、胶合、效率低的根源。转矩关系 $T_2=T_1,i,\eta$（蜗杆效率低，$\eta$ 不能忽略）。
18. 总效率 $\eta=\eta_1\eta_2\eta_3$（啮合效率、搅油效率、轴承效率），头数越多效率越高，单头约 0.7、多头最高约 0.92，一般仅 0.5～0.8。热平衡条件：单位时间损失功率全部由箱体散出，$P_1(1-\eta)=k_sA(t_1-t_2)$，求得工作油温 $t_1$ 应不超过约 80℃；不满足时加散热片（面积按 50% 折算）、轴端风扇、冷却水管或压力喷油循环。

---

二、知识结构（本节脉络）

机械设计：齿轮传动复习 → 蜗杆传动
│
├─ 〇、齿轮传动复习（第七章速览）
│   齿廓啮合定律 / 渐开线可分性与三线合一 / 模数 m / 正确啮合( m、α 相等)
│   连续传动 ε≥1 / 五种失效 / 闭式·开式设计准则 / 三分力 Fr Ft Fa / 润滑
│
├─ 一、蜗杆传动组成、原理与特点（大传动比、平稳、自锁、低效、易磨损胶合）
├─ 二、分类（圆柱/环面/锥；ZA 阿基米德 / ZI 渐开线 / ZN 法向直廓）
├─ 三、正确啮合条件（ma1=mt2、αa1=αt2、γ=β2 且旋向相同；角标 a/t）
├─ 四、主要参数与几何尺寸（d1=mq、导程角、头数 z1、z2、i=z2/z1≠d2/d1、中心距）
├─ 五、失效形式与设计准则（闭式接触强度+热平衡；开式弯曲强度）
├─ 六、材料（蜗杆钢；蜗轮青铜按滑动速度选锡青铜/铝青铜/铸铁）
├─ 七、受力分析（Fa1=−Ft2、Ft1=−Fa2、Fr1=−Fr2；手则；滑动速度；T2=T1iη）
├─ 八、例 8-1：判蜗轮旋向、转向 n2、三分力
├─ 九、效率与润滑（η=η1η2η3；浸油/喷油；防胶合）
├─ 十、热平衡计算（P1(1−η)=ksA(t1−t2)；散热片/风扇/冷却水管/喷油）
├─ 十一、结构（蜗杆轴一体：车制/铣制；蜗轮整体式与组合式及连接）
└─ 十二、三级减速综合题（锥齿轮+斜齿+蜗杆：旋向、转向、分力、轴向力抵消）

---

三、详细知识点笔记

（〇）齿轮传动复习（第七章提纲）

1. 齿廓啮合基本定律：两齿廓在任意位置啮合时，接触点的齿廓公法线都必须通过连心线上的一个固定点——节点，才能保证瞬时传动比恒定。
2. 渐开线齿廓特性：
   • 可分性：中心距略有变化时传动比仍保持不变，故齿轮制造装配后传动比即确定；
   • 啮合过程”三线合一“：啮合线、齿廓公法线、基圆公切线重合；注意公法线是齿廓的公法线，公切线是基圆的公切线。
3. 正压力沿齿廓公法线（啮合线）方向，方向恒定，才能保证所传递的力和转矩确定、传动平稳。
4. 模数 $m$：人为规定的标准参数，有单位（mm），$m=p/\pi$（$p$ 为齿距）；计算所得模数要向大圆整并尽量取标准第一系列。齿宽 $b=\varphi_a a$（或 $\varphi_d d_1$）等尺寸参数了解即可。
5. 正确啮合条件：两齿轮模数相等、压力角相等；连续传动条件：重合度 $\varepsilon\ge 1$（$\varepsilon$ 为希腊字母 epsilon）。
6. 齿轮精度分 13 个等级，0 级最高。
7. 五种失效形式：轮齿折断、齿面点蚀、齿面磨损、齿面胶合、塑性变形。
8. 设计准则：
   • 闭式传动：一般按齿面接触疲劳强度设计（防止点蚀），再按齿根弯曲疲劳强度校核（防止断齿）；
   • 开式传动：主要失效是磨损，通常按齿根弯曲疲劳强度设计，并把算得的模数适当放大（为磨损预留余量）。
9. 强度公式中载荷系数 $K=K_A K_v K_\beta K_\alpha$（$K_A$ 为使用/工况系数，$T$ 为转矩，$u$ 为齿数比）；一对齿轮传动时齿数比即传动比。齿面接触强度公式求出的是分度圆直径 $d_1$，其中代入齿宽系数；许用接触应力应取配对两轮中的较小值。
10. 受力三分力：
    • **径向力 $F_r$**：沿半径方向，由接触点指向轮心；
    • **圆周力 $F_t$**：方向口诀”主动反（之）、从（动）同“——主动轮上圆周力是阻力、与其转向相反，从动轮上圆周力是动力、与其转向相同；
    • 轴向力 $F_a$：直齿圆柱齿轮没有轴向力；斜齿轮、锥齿轮因螺旋角/锥角而有轴向力，用左右手定则判断：左旋用左手、右旋用右手，四指弯曲方向指向齿轮转动方向，大拇指即轴向力方向；手则只能用于主动轮。
    • 互相啮合的两齿轮，三个分力分别大小相等、方向相反。
11. 齿轮润滑分浸油润滑与喷油润滑，按圆周速度等选取。

---

（一）蜗杆传动的组成、工作原理与特点

• 组成：蜗杆（$z_1$，相当于一个齿数很少、螺旋角很大的斜齿轮，外形如螺杆）+ 蜗轮（$z_2$，在与蜗杆啮合处做成包络蜗杆的弧形齿）。蜗杆通常为主动件。
• 轴间关系：用于两空间交错轴，最常见交错角为 $90°$（区别于直齿、斜齿圆柱齿轮的平行轴，以及锥齿轮的相交轴）。
• 旋向判断：人站在与蜗杆轴线平行的方向观察，齿向线斜向右上方为右旋，斜向左上方为左旋。
• 主要特点：
  1. 单级传动比大、结构紧凑：$i$ 可达几十、几百，甚至上千；
  2. 传动平稳、噪声小：啮合时接触线由短变长、再由长变短，逐渐进入和退出啮合（与斜齿轮类似）；
  3. 可以自锁：当蜗杆导程角较小、摩擦较大时，只能蜗杆带动蜗轮，蜗轮不能带动蜗杆；如卷扬、起重装置中可借自锁使重物停悬不下落（自锁与摩擦、导程角有关，后文效率部分会讲）；
  4. 效率较低：同时啮合的齿对数少（常只有 3～4 个齿接触），且齿面间相对滑动大，一般效率仅 50%～60%，最高约 80%（而齿轮传动可达 96%～99%）；
  5. 易磨损、易胶合、发热大，需要良好的润滑与散热，闭式传动要做热平衡计算；
  6. 成本较高：蜗轮齿圈常用减摩耐磨的青铜制造。

---

（二）蜗杆传动的分类

1. 按蜗杆的外形分：
   • 圆柱蜗杆：蜗杆分度曲面为圆柱面，最常用；
   • 环面（弧面/toroidal）蜗杆：蜗杆体呈圆弧包络面，与蜗轮近似面接触，承载能力高；
   • 锥蜗杆：蜗杆为锥形。
2. 圆柱蜗杆按刀具齿形分：普通圆柱蜗杆、圆弧圆柱蜗杆（由圆弧刀刃加工得到）。
3. 普通圆柱蜗杆按轴向/法向齿廓形状分（教材三类）：
   • 阿基米德蜗杆（ZA 型）：在轴向截面内，齿廓两侧都是直线（呈梯形齿条状），加工最简单，应用广；
   • 渐开线蜗杆（ZI 型）：齿面为渐开线螺旋面，轴向截面齿廓一侧为直线、一侧为凸曲线；
   • 法向直廓蜗杆（ZN 型）：在螺旋线的法向截面（$N-N$ 面）内齿廓为直线，轴向截面为凸形。

---

（三）正确啮合条件（含角标 a、t）

蜗杆相当于把斜齿轮”螺旋化”，描述其参数时：

• 蜗杆取轴向（下标 $a$，axial）参数：轴向模数 $m_{a1}$、轴向压力角 $\alpha_{a1}$，并用导程角 $\gamma$ 描述螺旋方向；
• 蜗轮取端面（下标 $t$，transverse，圆周方向）参数：端面模数 $m_{t2}$、端面压力角 $\alpha_{t2}$，并用螺旋角 $\beta_2$ 描述。

正确啮合三条件：

$$
m_{a1}=m_{t2}=m,\qquad \alpha_{a1}=\alpha_{t2},\qquad \gamma=\beta_2\ \text{（且两者旋向相同）}
$$

即蜗杆的导程角与蜗轮的螺旋角大小相等、旋向一致（蜗杆右旋则蜗轮也右旋）。这就是教材中一个角标为 $a$、另一个为 $t$ 的原因。

---

（四）主要参数与几何尺寸计算（本章计算核心）

1. 蜗杆分度圆直径 $d_1$ 与直径系数 $q$

齿轮有 $d=mz$，但蜗杆为了能用有限规格的蜗轮滚刀加工蜗轮，对同一模数规定了若干标准的蜗杆分度圆直径，引入**直径系数（特性系数）$q$**：

$$
\boxed{d_1=mq}\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{d_1}{m}
$$

**切记：蜗杆 $d_1\neq mz_1$**；而蜗轮与普通齿轮相同：

$$
d_2=mz_2
$$

$m$ 与 $d_1$（即 $q$）的标准搭配可查教材表（计算时按表取值）。

2. 齿距、导程与导程角

• 轴向齿距：$p_x=\pi m$；
• 导程（蜗杆同一根螺旋线转过一周沿轴向前进的距离，等于全部 $z_1$ 个齿距之和）：$P_z=z_1 p_x=\pi m z_1$；单头（$z_1=1$）时导程就等于一个齿距；
• **导程角 $\gamma$**：蜗杆分度圆柱螺旋线的切线与垂直于轴线的端面之间的夹角。把分度圆柱展开，螺旋线为斜线，由几何关系：

$$
\tan\gamma=\frac{P_z}{\pi d_1}=\frac{z_1 p_x}{\pi d_1}=\frac{mz_1}{d_1}
\quad\Longrightarrow\quad
d_1=\frac{mz_1}{\tan\gamma}
$$

3. 头数 $z_1$、齿数 $z_2$ 与传动比

• 蜗杆的齿数习惯称”头数“ $z_1$，常取 1、2、4：$z_1=1$ 称单头（单级），$z_1=2$ 称双头，其余称多头；
• 头数越多，导程角越大、效率越高，但一根蜗杆上螺旋线越多、加工越困难、精度越难保证，故常用 $z_1=1、2$；
• 蜗轮齿数 $z_2$ 一般推荐 28～80（教材表中约从 27 起）：齿数取得过大，蜗轮分度圆和整体尺寸就大，箱体和加工难度随之增大；
• 传动比：

$$
\boxed{i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}}
$$

注意：

$$
\frac{d_2}{d_1}=\frac{mz_2}{mq}=\frac{z_2}{q}\neq\frac{z_2}{z_1}=i
$$

即 **$i\neq d_2/d_1$**（因为 $d_1\neq mz_1$），这是与齿轮传动（$i=d_2/d_1=z_2/z_1$）最大的不同，也是高频易错点。

• 中心距：

$$
a=\frac{d_1+d_2}{2}
$$

4. 查表与算例（教材表 8-2、表 8-3 思路）

按传动比推荐 $z_1$、$z_2$：例如 $i\approx25$ 时，可取 $z_1=2$，则 $z_2=i,z_1=50$；若设模数 $m=1$，则蜗轮分度圆直径 $d_2=mz_2=50$，而蜗杆分度圆直径 $d_1=mq$ 需按标准直径系数查表得到，不能用 $mz_1$ 计算。

---

（五）失效形式与设计准则

• 蜗杆传动齿面接触线逐渐变化、传动比平稳，轮齿折断相对不易发生；由于齿面间存在很大的相对滑动、发热严重，主要失效形式是齿面磨损和齿面胶合。
• 失效多出现在蜗轮轮齿上：蜗轮每个齿只是一小段、齿较薄，而蜗杆齿是连续的整条螺旋线、强度较高。因此强度计算体系主要建立在蜗轮上。
• 设计准则：
  • 闭式蜗杆传动：按蜗轮齿面接触疲劳强度进行设计（控制磨损/胶合与点蚀），设计后不再校核齿根弯曲疲劳强度；但因发热大，必须进行热平衡计算；
  • 开式蜗杆传动：按齿根弯曲疲劳强度设计（开式以磨损为主，无密闭箱体，不做热平衡计算）。

---

（六）蜗杆与蜗轮的材料选择

选材原则：足够的强度，以及良好的减摩性、耐磨性、抗胶合能力（摩擦副配对要”滑得动、磨得少、不胶合”）。

零件	常用材料	说明
蜗杆	合金钢、碳钢	重载/高速用 20Cr、20CrMnTi 等合金钢渗碳淬火；一般载荷用 45 钢等碳钢，并通过调质等表面处理提高强度和齿面硬度
蜗轮（齿圈）	青铜为主	滑动速度较高（约 $v_s>3\ \text{m/s}$）、高速重载时用铸造锡青铜（减摩抗胶合最好，但锡贵）；滑动速度较低（约 $v_s<1\sim2\ \text{m/s}$）用铸造铝青铜等无锡青铜（加入锌、铝等降低成本）；速度很低时轮缘可用灰铸铁（HT）

锡青铜、铝青铜与滑动速度的具体分界值[以教材/手册为准]；原则是”速度越高越要用减摩抗胶合好的锡青铜”。

---

（七）蜗杆传动的受力分析（本章重点与最大易错点）

1. 法向力与三个分力

齿面间作用着沿啮合线的**法向力 $F_n$**。先把它分解为径向分力和水平面内的分力，再借助导程角 $\gamma$ 把水平面内的分力分解为圆周力与轴向力，得到三个分力：圆周力 $F_t$、径向力 $F_r$、轴向力 $F_a$。

2. 交错轴的力配对（与平行轴齿轮不同！）

由于两轴空间交错 $90°$，蜗杆的”轴向”恰好对应蜗轮的”圆周方向”，蜗杆的”圆周方向”又对应蜗轮的”轴向”，因此：

$$
\boxed{F_{a1}=-F_{t2}},\qquad
\boxed{F_{t1}=-F_{a2}},\qquad
\boxed{F_{r1}=-F_{r2}}
$$

即：蜗杆轴向力与蜗轮圆周力配对、蜗杆圆周力与蜗轮轴向力配对、两者径向力互相配对，每对都是大小相等、方向相反。径向力 $F_{r1}$、$F_{r2}$ 都由接触点指向各自轮心。

对比记忆：平行轴斜齿轮是 $F_{t1}=-F_{t2}$、$F_{a1}=-F_{a2}$、$F_{r1}=-F_{r2}$；蜗杆传动把前两对中的 $t$ 与 $a$ 交叉互换了。

3. 各力方向的判断

• 蜗杆一般为主动件，用左右手定则直接判蜗杆轴向力 $F_{a1}$：左旋用左手、右旋用右手，四指弯曲顺着蜗杆转向 $n_1$，大拇指指向即 $F_{a1}$；
• 圆周力遵循”主动反、从动同“：主动件蜗杆上的圆周力 $F_{t1}$ 与 $n_1$ 反向（是阻力）；从动件蜗轮上的圆周力 $F_{t2}$ 与蜗轮转向 $n_2$ 同向（是推动蜗轮转动的动力）；
• 因为 $F_{t2}=-F_{a1}$ 且 $F_{t2}$ 与 $n_2$ 同向，所以 $F_{a1}$ 的方向与蜗轮转向 $n_2$ 相反——这是由蜗杆轴向力反推蜗轮转向的关键；
• 径向力始终指向轮心。

4. 滑动速度

交错轴传动在啮合点处两齿面间存在明显的相对滑动。设蜗杆、蜗轮在啮合点的圆周速度分别为 $\vec v_1$、$\vec v_2$，则相对滑动速度：

$$
\vec v_s=\vec v_1-\vec v_2,\qquad
v_s=\frac{v_1}{\cos\gamma};(>v_1)
$$

$v_s$ 与 $v_1$ 之间的夹角即导程角 $\gamma$。滑动速度越大，越容易磨损、胶合，润滑条件越苛刻，材料要求也越高。

5. 力与转矩的大小

$$
F_{t1}=\frac{2T_1}{d_1},\qquad F_{t2}=\frac{2T_2}{d_2}
$$

蜗杆传动效率较低、不能忽略，故蜗轮轴输出转矩：

$$
\boxed{T_2=T_1,i,\eta}
$$

（若忽略效率才有 $T_2/T_1=i$；实际必须乘总效率 $\eta$。）

---

（八）教材例 8-1：判蜗轮旋向、转向与三分力

题目给出蜗杆的旋向和转向，要求判断蜗轮旋向、蜗轮旋转方向 $n_2$ 以及各分力方向。标准步骤：

1. 判蜗杆旋向：按齿向线”右高右旋、左高左旋”确定；
2. **定蜗杆轴向力 $F_{a1}$**：对主动件蜗杆使用对应手的手则（四指顺 $n_1$、大拇指为 $F_{a1}$）；
3. **定蜗轮圆周力 $F_{t2}$ 与转向 $n_2$**：$F_{t2}=-F_{a1}$；蜗轮是从动件，$F_{t2}$ 与 $n_2$ 同向，由此确定蜗轮转向；
4. 配出其余各力：$F_{t1}=-F_{a2}$、$F_{r1}=-F_{r2}$；$F_{t1}$ 与 $n_1$ 反向，径向力指向轮心；
5. 判蜗轮旋向：正确啮合要求蜗杆、蜗轮旋向相同，故蜗轮旋向与蜗杆一致。

易错提醒：左右手定则只能直接用于主动件（蜗杆）。若想在从动的蜗轮上”比划”，得到的方向必须再取一次反号（因为从动轮各分力与主动轮对应力相反），否则会把旋向判反。

---

（九）效率与润滑

1. 总效率的组成

蜗杆传动的总效率由三部分串联组成：

$$
\eta=\eta_1,\eta_2,\eta_3
$$

• $\eta_1$：啮合效率，与导程角 $\gamma$ 和当量摩擦角 $\rho_v$ 有关（近似 $\eta_1=\dfrac{\tan\gamma}{\tan(\gamma+\rho_v)}$），导程角在一定范围内增大、摩擦角减小，啮合效率提高；
• $\eta_2$：搅油效率（零件搅动润滑油造成功率损失）；
• $\eta_3$：轴承效率，滚动轴承约 0.99，计算时整体可取 0.97～0.99，粗略估算时 $\eta_2\eta_3$ 有时取 1。

头数 $z_1$ 越多、导程角越大，效率越高：单头蜗杆效率约 0.7，多头最高约 0.92；一般蜗杆传动效率多在 0.5～0.8。**具有自锁性的蜗杆（$\gamma$ 很小）效率通常低于 50%**。

2. 润滑

蜗杆传动比齿轮传动更要重视润滑：温度过高时润滑油黏度下降、油膜破坏并产生黏性沉积物，极易诱发胶合。应按教材表 8-6 根据载荷、滑动速度选择合适黏度和牌号的润滑油；重载、速度高时采用喷油润滑，一般情况采用浸油润滑。

---

（十）热平衡计算（闭式蜗杆传动必做，重点掌握）

1. 发热与散热

• 蜗杆传动损失的功率几乎全部转化为热量。若输入功率为 $P_1$，则单位时间的发热量（损失功率）为：

$$
P_s=P_1(1-\eta)
$$

• 密闭箱体内热量主要通过金属箱体外壁向环境散发。单位时间散热量按牛顿冷却形式：

$$
\Phi=k_s,A,(t_1-t_2)
$$

其中：

• $t_1$ 为箱体工作温度（油温），$t_2$ 为环境温度（如取 $25℃$）；注意这里的 $t$ 表示温度而非时间；
• $k_s$ 为散热系数，随通风条件而不同：通风良好时约 $17.5\ \text{W/(m}^2\cdot℃\text{)}$，通风不良时约 $8.5\ \text{W/(m}^2\cdot℃\text{)}$[数值以教材为准]；
• $A$ 为箱体有效散热面积（$m^2$）。

2. 热平衡条件与工作温度

热平衡时发热 = 散热：

$$
\boxed{P_1(1-\eta)=k_sA(t_1-t_2)}
$$

由此解出工作温度：

$$
t_1=t_2+\frac{P_1(1-\eta)}{k_sA}
$$

要求算得的 $t_1$ 不超过润滑油和密封允许的最高温度（一般要求 $t_1\le 70\sim80℃$）。

3. 散热不足时的措施

当算得 $t_1>80℃$ 或自然散热面积不够时，可采取（与电脑 CPU 散热思路类似）：

1. 增加散热片：在箱体外壁加铸散热片以增大散热面积（散热片的计算面积通常按其实际面积的 50% 折算）；
2. 加装轴端风扇：在蜗杆外伸轴端装风扇，强迫通风、加快空气扰动带走热量；
3. 在箱内设置冷却水管（冷凝管/蛇形管）：通循环冷水，类比电脑热管/水冷；
4. 采用压力喷油循环润滑冷却：用外置冷却器把油冷却后再喷入啮合区。

---

（十一）蜗杆与蜗轮的结构

• 蜗杆：一般与轴做成一体（蜗杆轴），分
  • 铣制：在铣床上铣出螺旋齿槽；
  • 车制：在车床上车削，车制时常在齿根两端留出较大的退刀距离，以免该部分加工不清。
• 蜗轮：
  • 整体式：小尺寸、低速或用铸铁/铸铁青铜时可整体铸造；
  • 组合式（为节省贵重金属，青铜只做齿圈、轮芯用铸铁或钢）：齿圈与轮芯的连接方式随尺寸增大依次可用过盈配合/焊接、螺栓连接、铰制孔螺栓连接、以及把青铜齿圈直接浇铸在铸铁轮芯上等，尺寸越大连接越牢固。

---

（十二）三级减速传动综合例题（锥齿轮 + 斜齿圆柱齿轮 + 蜗杆）

题目为一台三级减速器：第一级一对锥齿轮、第二级一对斜齿圆柱齿轮、第三级蜗杆蜗轮；电机驱动轴 I（主动），输出轴 III 接工作机；要求使轴 II、轴 III 上的轴向力能相互抵消一部分，需判断齿轮 3、4、5、6 的旋向、各轴转向 $n_5$、$n_6$ 并标出各轮三个分力。解题要点：

1. 锥齿轮的轴向力最好判断：无论转向如何，锥齿轮的轴向力方向总是由轮齿小端指向大端（沿轴线、背离锥顶方向）。据此先写出 $F_{a2}$，再按”轴 II 上两轴向力反向抵消”确定 $F_{a3}$ 的方向。
2. 一对啮合锥齿轮的转向关系：两节锥作纯滚动，啮合点处要么同时”相向进入”、要么同时”相背退出”，据此由一个轮的转向判断另一个轮的转向。
3. 斜齿圆柱齿轮旋向：用轴向力方向反推——已知 $F_{a3}$ 方向和齿轮 3 的转向，用左右手定则确定齿轮 3 的旋向（四指顺转向、大拇指为轴向力）；互相啮合的两斜齿圆柱齿轮旋向相反，由此得齿轮 4 旋向。
4. 轴 III 上齿轮 5（斜齿从动轮）与蜗杆（与齿轮 5 同轴/相连）的轴向力也要反向抵消：$F_{a4}=-F_{a3}$，据此定 $F_{a5}$，再由齿轮 5 转向用手则定其旋向；与齿轮 5 啮合的齿轮 6 旋向相反。
5. 蜗轮（齿轮 6）转向：蜗杆轴向力 $F_{a,\text{杆}}$ 的反作用力即蜗轮圆周力 $F_{t6}$，$F_{t6}$ 与 $n_6$ 同向，由此定 $n_6$。
6. 标三分力：径向力一律指向各自轮心；圆周力按”主动反、从动同”标；轴向力按手则或抵消关系标。把”点（箭头向外，先看到箭头尖端）”和”叉（箭头向里，看到箭尾）”画对。
7. 若这道综合题能独立、正确地完成，则蜗杆传动（以及齿轮传动）的受力分析就基本掌握了。

---

四、例题与案例汇总

例题	已知	求/结论	关键方法
几何算例	$i=25$，取 $z_1=2$，$m=1$	$z_2=iz_1=50$，$d_2=mz_2=50$，$d_1=mq$ 查表	$i=z_2/z_1$；蜗杆 $d_1\neq mz_1$
导程角	已知 $m、z_1、d_1$	$\tan\gamma=mz_1/d_1$	分度圆柱展开几何关系
传动比辨析	$z_1,z_2,q$	$i=z_2/z_1$，但 $d_2/d_1=z_2/q\neq i$	交错轴蜗杆传动特有
例 8-1	蜗杆旋向、转向	蜗轮旋向（与蜗杆相同）、$n_2$、三分力	手则定 $F_{a1}$→$F_{t2}=-F_{a1}$→定 $n_2$
自锁判断	导程角小、摩擦大	蜗轮不能带动蜗杆、重物悬停	$\gamma$ 小于当量摩擦角时自锁、效率低
热平衡	$P_1,\eta,k_s,A,t_2$	$t_1=t_2+P_1(1-\eta)/(k_sA)\le80℃$	发热=散热；不足加散热片/风扇/水管/喷油
材料选择	高/低滑动速度	高速锡青铜、低速铝青铜/铸铁	减摩、耐磨、抗胶合
三级减速综合	锥齿+斜齿+蜗杆、轴向力抵消	3/4/5/6 旋向、$n_5/n_6$、各分力	锥齿轴向力小端→大端；手则；力配对

---

五、术语与公式速查表

项目	内容/公式
组成与轴	蜗杆（主动，头数 $z_1$）+ 蜗轮（$z_2$）；空间交错轴，常 $90°$
五大特点	传动比大、平稳噪声小、可自锁；效率低、易磨损胶合、成本高
分类	圆柱/环面/锥蜗杆；ZA 阿基米德（轴向直线）、ZI 渐开线、ZN 法向直廓
正确啮合	$m_{a1}=m_{t2}$、$\alpha_{a1}=\alpha_{t2}$、$\gamma=\beta_2$ 且旋向相同
角标	$a$=轴向（蜗杆用）；$t$=端面/圆周（蜗轮用）
分度圆直径	蜗杆 $d_1=mq$（$q$ 直径系数，**$d_1\neq mz_1$**）；蜗轮 $d_2=mz_2$
齿距/导程	$p_x=\pi m$；$P_z=z_1p_x=\pi mz_1$
导程角	$\tan\gamma=P_z/(\pi d_1)=mz_1/d_1$
头数/齿数	$z_1$ 取 1、2、4（多则效率高但难加工）；$z_2$ 取 28～80
传动比	$i=n_1/n_2=z_2/z_1$；**$i\neq d_2/d_1$**（$d_2/d_1=z_2/q$）
中心距	$a=(d_1+d_2)/2$
主要失效	齿面磨损、胶合（多发生在蜗轮齿）；断齿较少
设计准则	闭式：按蜗轮齿面接触疲劳强度设计 + 热平衡，不校弯曲；开式：按齿根弯曲疲劳强度
材料	蜗杆：合金钢/碳钢（渗碳淬火或调质）；蜗轮：锡青铜（高速）/铝青铜（低速）/铸铁
受力配对	$F_{a1}=-F_{t2}$、$F_{t1}=-F_{a2}$、$F_{r1}=-F_{r2}$
力方向	手则只用于主动蜗杆定 $F_{a1}$；$F_{t2}=-F_{a1}$ 与 $n_2$ 同向；$F_{a1}$ 与 $n_2$ 反向；径向指向轮心
滑动速度	$\vec v_s=\vec v_1-\vec v_2$，$v_s=v_1/\cos\gamma>v_1$，与 $v_1$ 夹角 $\gamma$
力与转矩	$F_{t1}=2T_1/d_1$，$F_{t2}=2T_2/d_2$，$T_2=T_1 i\eta$
效率	$\eta=\eta_1\eta_2\eta_3$；单头约 0.7、多头最高约 0.92，一般 0.5～0.8；自锁时 <0.5
热平衡	$P_1(1-\eta)=k_sA(t_1-t_2)$，$t_1\le70\sim80℃$；$k_s$ 通风好约 17.5、差约 8.5
散热措施	散热片（面积折半）、轴端风扇、冷却水管、压力喷油循环
结构	蜗杆与轴一体（车制/铣制）；蜗轮整体式或青铜齿圈+轮芯组合式（焊/螺栓/浇铸）

---

六、课堂任务 / 实训要点

1. 能默写蜗杆传动正确啮合三条件，并解释角标 $a$、$t$ 的含义。
2. 会用 $d_1=mq$、$d_2=mz_2$、$\tan\gamma=mz_1/d_1$、$i=z_2/z_1$、$a=(d_1+d_2)/2$ 做几何计算，并能说清为什么 $i\neq d_2/d_1$。
3. 会判断蜗杆/蜗轮旋向，会用左右手定则由蜗杆转向确定 $F_{a1}$，再推出蜗轮圆周力和转向。
4. 能正确写出交错轴三个分力的配对关系并在图上标出方向（点/叉）。
5. 会做热平衡计算，判断工作温度是否超限并选择散热措施。
6. 能根据滑动速度合理选择蜗轮材料；了解蜗杆、蜗轮的典型结构。
7. 会做”锥齿轮 + 斜齿 + 蜗杆”多级传动的旋向、转向、分力综合判断。

---

七、待核对 / 以教材为准（录音口语化处）

1. 录音提到精度等级、$z_2$ 范围”教材写 27、可记 28”，本文按推荐 28～80 整理，具体[以教材表 8-2 为准]。
2. 锡青铜、铝青铜（无锡青铜）、铸铁对应的滑动速度分界（录音中”3 m/s””1～2 m/s、12 m/s”等表述含糊），[以教材材料表为准]。
3. 散热系数 $k_s$ 录音给出”通风好约 17.5、通风差约 8.5”，单位与数值[以教材第 117 页附近为准]；最高工作温度按常见 70～80℃ 给出。
4. 啮合效率公式 $\eta_1=\tan\gamma/\tan(\gamma+\rho_v)$ 为常见形式，教材具体写法与符号[以课本为准]。
5. 齿轮复习部分各强度公式的完整形式、载荷系数符号（$K_A,K_v,K_\beta,K_\alpha$）以齿轮章教材为准，本篇只作提纲。
6. 例 8-1 与三级减速综合题的具体图号、齿轮编号和箭头方向以教材/课堂图为准；本文给出的是通用解题步骤。

---

八、复习自测（主动回忆，先自己答再看答案）

1. 蜗杆传动用于什么轴之间？由哪两个基本构件组成，谁通常是主动件？
答：用于空间两交错轴（通常 90°）之间；由蜗杆和蜗轮组成，蜗杆通常是主动件，其齿数称头数 $z_1$，蜗轮齿数 $z_2$。

2. 蜗杆传动有哪些主要优缺点？
答：优点是单级传动比大、结构紧凑、传动平稳噪声小、可自锁；缺点是齿面相对滑动大、效率低（一般 0.5～0.8）、易磨损和胶合、发热大、蜗轮需用青铜成本高。

3. 什么是蜗杆传动的自锁？自锁与效率有什么关系？
答：当蜗杆导程角很小、摩擦较大时只能蜗杆带动蜗轮，蜗轮不能带动蜗杆，起重装置可借此吊住重物不下落；能自锁的蜗杆导程角小、啮合效率低，总效率通常低于 50%。

4. 普通圆柱蜗杆按齿廓分哪三类？阿基米德蜗杆的轴向齿廓是什么形状？
答：阿基米德蜗杆 ZA、渐开线蜗杆 ZI、法向直廓蜗杆 ZN；阿基米德蜗杆轴向截面齿廓两侧都是直线。

5. 写出蜗杆传动正确啮合的三个条件。
答：$m_{a1}=m_{t2}=m$；$\alpha_{a1}=\alpha_{t2}$；蜗杆导程角等于蜗轮螺旋角 $\gamma=\beta_2$ 且两者旋向相同。

6. 角标 a 和 t 分别表示什么？为什么蜗杆用 a、蜗轮用 t？
答：a 表示轴向、t 表示端面（圆周方向）；蜗杆相当于螺旋化的斜齿轮，其啮合参数取轴向值，蜗轮取端面值，二者才能对应相等。

7. 蜗杆分度圆直径为什么不能写成 $d_1=mz_1$？应该怎么算？
答：为减少蜗轮滚刀规格，对同一模数规定了标准蜗杆分度圆直径，引入直径系数 q，故 $d_1=mq$；蜗轮才是 $d_2=mz_2$。

8. 写出导程角公式，并说明齿距、导程与头数的关系。
答：$\tan\gamma=mz_1/d_1$；齿距 $p_x=\pi m$，导程 $P_z=z_1p_x=\pi mz_1$，单头时导程等于一个齿距。

9. 蜗杆头数一般取哪些值？是不是越多越好？
答：常取 1、2、4；头数越多导程角越大、效率越高，但螺旋线增多、加工困难、精度难保证，故工程上常用 1、2。

10. 蜗轮齿数推荐范围是多少？齿数过大有什么问题？
答：约 28～80；齿数过大则蜗轮分度圆和整体尺寸大、箱体大、加工难度高。

11. 写出蜗杆传动传动比公式，并说明为什么 $i\neq d_2/d_1$。
答：$i=n_1/n_2=z_2/z_1$；因 $d_1=mq\neq mz_1$，故 $d_2/d_1=z_2/q\neq z_2/z_1$。

12. 蜗杆传动最主要的失效形式是什么？多发生在哪个零件上？为什么？
答：主要是齿面磨损和胶合（相对滑动大、发热大），断齿较少；多发生在蜗轮轮齿上，因蜗轮齿较薄而蜗杆是连续螺旋齿、强度较高。

13. 闭式和开式蜗杆传动分别按什么准则设计？闭式为什么必须做热平衡？
答：闭式按蜗轮齿面接触疲劳强度设计、不再校弯曲强度，但必须做热平衡计算（密闭箱体发热大、易超温胶合）；开式按齿根弯曲疲劳强度设计。

14. 蜗杆和蜗轮常用什么材料？高速蜗轮为什么用锡青铜？
答：蜗杆用合金钢或碳钢（渗碳淬火或调质）；蜗轮用青铜，高速重载用减摩抗胶合最好的锡青铜，低速可用铝青铜等无锡青铜，很低速可用灰铸铁；锡含得越多减摩抗胶合越好但越贵。

15. 写出蜗杆传动三个分力的配对关系。
答：$F_{a1}=-F_{t2}$、$F_{t1}=-F_{a2}$、$F_{r1}=-F_{r2}$；与平行轴齿轮相比，圆周力与轴向力发生了交叉互换。

16. 怎样判断蜗杆轴向力 $F_{a1}$ 的方向？左右手定则能否用于蜗轮？
答：对主动件蜗杆，左旋用左手、右旋用右手，四指顺蜗杆转向、大拇指即 $F_{a1}$；手则只能直接用于主动件，用于从动蜗轮时所得方向必须再取反。

17. 已知蜗杆转向和旋向，怎样确定蜗轮转向 $n_2$？
答：手则定 $F_{a1}$，由 $F_{t2}=-F_{a1}$ 得蜗轮圆周力方向；蜗轮是从动件，$F_{t2}$ 与其转向 $n_2$ 同向，即得 $n_2$；故 $F_{a1}$ 与 $n_2$ 反向。

18. 什么是滑动速度？写出它与 $v_1$、导程角的关系。
答：啮合点两齿面的相对速度 $\vec v_s=\vec v_1-\vec v_2$；$v_s=v_1/\cos\gamma>v_1$，$v_s$ 与 $v_1$ 夹角为导程角 $\gamma$；它是磨损、胶合和效率低的根源。

19. 写出蜗轮轴输出转矩公式，为什么效率不能省略？
答：$F_{t1}=2T_1/d_1$、$F_{t2}=2T_2/d_2$，$T_2=T_1 i\eta$；蜗杆传动效率低（常 0.5～0.8），忽略 $\eta$ 会显著高估输出转矩。

20. 总效率由哪三部分组成？头数对效率有何影响？
答：$\eta=\eta_1\eta_2\eta_3$，分别为啮合效率、搅油效率、轴承效率；头数越多导程角越大、效率越高，单头约 0.7、多头最高约 0.92。

21. 写出热平衡方程，并说明各符号含义。
答：$P_1(1-\eta)=k_sA(t_1-t_2)$；$P_1$ 输入功率、$\eta$ 总效率、$k_s$ 散热系数（通风好约 17.5、差约 8.5）、$A$ 散热面积、$t_1$ 工作油温、$t_2$ 环境温度。

22. 热平衡算出工作温度超过约 80℃，可采取哪些措施？
答：加散热片（面积按 50% 折算）、装轴端风扇强迫通风、箱内铺设通冷水的冷却水管、采用带外冷却器的压力喷油循环润滑。

23. 蜗杆和蜗轮在结构上各有什么特点？组合式蜗轮怎样连接？
答：蜗杆常与轴做成一体（车制或铣制）；蜗轮有整体式和组合式，组合式用青铜齿圈+铸铁/钢轮芯以节省铜，靠过盈/焊接、螺栓、铰制孔螺栓或浇铸连接，尺寸越大连接越牢。

24. 锥齿轮的轴向力方向有什么规律？
答：无论转向和旋向如何，锥齿轮轴向力总是由轮齿小端指向大端（沿轴线背离锥顶）。

25. 做”锥齿+斜齿+蜗杆”多级传动、要求中间轴轴向力抵消时，整体思路是什么？
答：先用锥齿轮轴向力（小端→大端）和”同轴两轴向力反向抵消”确定斜齿轴向力方向，再用左右手定则和啮合斜齿旋向相反依次定各斜齿/蜗杆旋向；用 $F_{t2}=-F_{a1}$ 定蜗轮转向；最后按”主动反从动同”、径向指向轮心标出全部三分力。

---

收尾记忆：蜗杆传动这一章抓住”一个特殊几何关系、一对交叉力、一个热平衡“就不会乱——几何上记住蜗杆 $d_1=mq\neq mz_1$、$i=z_2/z_1\neq d_2/d_1$、$\tan\gamma=mz_1/d_1$；受力上记住交错轴 $F_{a1}\leftrightarrow F_{t2}$、$F_{t1}\leftrightarrow F_{a2}$ 交叉配对，手则只用于主动蜗杆、再由 $F_{t2}$ 定蜗轮转向；热平衡上记住闭式必做 $P_1(1-\eta)=k_sA(t_1-t_2)$，超温就上散热片、风扇、冷却水管或喷油循环。