齿轮传动受力分析与强度计算习题总结

课程笔记｜齿轮传动受力与强度习题课｜2026-09-30

课程信息

项目	内容
日期	2026-09-30
课程/主题	机械设计：齿轮传动受力分析、强度计算、结构与润滑
课堂时长	约 1 小时 40 分钟
使用材料	课堂讲授、随堂练习讲评与教材习题讲解
整理范围	直齿/斜齿/锥齿轮受力方向、斜齿轮旋向与左右手定则、齿面接触疲劳、齿根弯曲疲劳、模数圆整、齿轮结构、润滑和习题 7-1/7-3
时间标记	下文时间标记按齿轮习题课内部进度整理
重要说明	材料热处理、安全系数、教材页码和习题模数存在口述不清，已在对应位置标注 [待核对]

一、核心结论

• 齿轮受力判断的核心口诀是“主反从同、径向对心”：主动轮圆周力与转动方向相反，从动轮圆周力与转动方向相同；径向力从接触点指向各自轮心；直齿圆柱齿轮没有轴向力。[课堂 00:10–00:20、01:10–01:20]
• 斜齿轮轴向力用左右手定则判断，中间轴设计应尽量让轴向力抵消：左旋主动轮用左手、右旋主动轮用右手，四指随转动方向弯曲，拇指指向轴向力；同一中间轴上两个齿轮常选相同旋向，使两个轴向力方向相反。[课堂 00:30–01:00]
• 锥齿轮轴向力方向从小端指向大端：锥齿轮圆周力仍按“主反从同”，径向力指向各自轴心，轴向力不需要左右手，按小端到大端判断即可。[课堂 01:00–01:20]
• 齿轮强度设计分为齿面接触疲劳和齿根弯曲疲劳：接触应力用 σH 表示，防止齿面点蚀；弯曲应力用 σF 表示，防止齿根折断。设计时应代入更危险齿轮的许用应力，模数计算后必须按标准系列向大值圆整。[课堂 00:20–00:30、01:30–01:40]
• 小齿轮、实心齿轮、腹板式、轮辐式和焊接齿轮的选用取决于尺寸与制造条件；低速常用油浴润滑，高速常用喷嘴把油喷入啮合区。[课堂 01:20–01:30]

二、知识结构

flowchart TD
    A[齿轮传动习题课] --> B[受力分析]
    A --> C[强度计算]
    A --> D[设计与结构]

    B --> B1[直齿圆柱齿轮]
    B1 --> B11[Ft: 主反从同]
    B1 --> B12[Fr: 指向轮心]
    B1 --> B13[无 Fa]

    B --> B2[斜齿圆柱齿轮]
    B2 --> B21[判断左旋/右旋]
    B2 --> B22[主动轮左右手定则]
    B2 --> B23[中间轴轴向力抵消]

    B --> B3[锥齿轮]
    B3 --> B31[Ft 主反从同]
    B3 --> B32[Fr 指向轴心]
    B3 --> B33[Fa 从小端指向大端]

    C --> C1[接触疲劳 σH]
    C1 --> C11[防止齿面点蚀]
    C --> C2[弯曲疲劳 σF]
    C2 --> C21[防止齿根折断]
    C --> C3[许用应力与安全系数]

    D --> D1[模数标准圆整]
    D --> D2[几何尺寸计算]
    D --> D3[齿轮结构形式]
    D --> D4[油浴/喷油润滑]

2.1 受力分析

• 直齿圆柱齿轮：圆周力 (F_t)、径向力 (F_r)，无轴向力。
• 斜齿圆柱齿轮：有 (F_t、F_r、F_a)，轴向力用左右手定则。
• 锥齿轮：有 (F_t、F_r、F_a)，轴向力从小端指向大端。

2.2 强度设计

• 齿面接触疲劳：(\sigma_H\le[\sigma_H])，防止点蚀。
• 齿根弯曲疲劳：(\sigma_F\le[\sigma_F])，防止轮齿折断。
• 许用应力由极限应力除以安全系数得到，设计时取更危险齿轮控制尺寸。

2.3 设计、结构与润滑

• 模数必须按标准系列取值，并向满足强度的方向圆整。
• 小齿轮可做成齿轮轴或实心齿轮，中大尺寸常用腹板式、轮辐式或焊接结构。
• 低速常用油浴润滑，高速常用喷油润滑。

三、详细笔记

3.1 齿轮受力分析的基本约定

[课堂 00:10–00:20、01:10–01:20]

齿轮传动习题课先纠正随堂练习中的两个判断题：

1. 径向力方向一定指向轮心：对。 对圆柱齿轮，径向力沿半径方向，从啮合接触点指向各自轮心。
2. 圆周力方向一定与旋转方向一致：错。 主动轮上的圆周力与转动方向相反，从动轮上的圆周力与转动方向相同。

课堂口诀为：

主反从同：主动轮圆周力与旋转方向相反，从动轮圆周力与旋转方向相同。

相互啮合的两个齿轮，其对应作用力大小相等、方向相反。三维图中常用：

• 点（•）表示箭头从纸面向外，即力或运动朝向观察者；
• 叉（×）表示箭头向纸内，即力或运动离开观察者。

直齿圆柱齿轮的轮齿与轴线平行，啮合时没有沿轴线方向的分力，因此只有圆周力和径向力，没有轴向力。

3.2 斜齿轮旋向与轴向力

[课堂 00:30–01:00]

3.2.1 左旋与右旋

把齿轮轴线摆成水平，观察轮齿方向：

• 轮齿斜向左手边为左旋；
• 轮齿斜向右手边为右旋。

外啮合斜齿轮的两个齿轮旋向相反；内啮合时旋向相同。除旋向外，内、外啮合还必须注意转动方向和轴向力关系，不能只看齿向。

3.2.2 左右手定则

对主动斜齿轮：

• 左旋用左手；
• 右旋用右手；
• 四指弯曲方向与齿轮转动方向一致；
• 大拇指指向即为主动轮轴向力 (F_a) 的方向。

从动轮的轴向力可根据啮合作用力与反作用力关系确定。若已知从动轮轴向力，也可通过与其啮合主动轮的轴向力反向得到。

3.2.3 中间轴轴向力抵消

在二级斜齿轮传动中，中间轴上的大齿轮在第一对啮合中是从动轮，而另一个齿轮在第二对啮合中是主动轮。若布置合理，两个轴向力可以方向相反、部分抵消，从而降低轴和轴承承受的轴向载荷。

课堂结论是：设计时通常让中间轴上两个斜齿轮的旋向相同，因为它们在各自啮合中的主从动身份不同、转动方向相同，最终可能得到相反的轴向力。具体题目仍要按左右手定则逐轮验证，不能脱离图示死记。

3.3 锥齿轮受力特点

[课堂 01:00–01:20]

锥齿轮也有圆周力、径向力和轴向力：

• 圆周力 (F_t)：仍遵循“主反从同”；
• 径向力 (F_r)：指向各自轴心；
• 轴向力 (F_a)：从小端指向大端。

锥齿轮轴向力不像斜齿轮那样用左右手判断，而是根据锥形几何方向直接判断。直齿锥齿轮虽然齿向是直的，但由于齿轮轴线相交、轮齿呈锥形，仍会产生轴向力；这与直齿圆柱齿轮没有轴向力不同。

锥齿轮强度计算中还会涉及分锥角和当量齿数，具体系数和公式应按教材表格查取 [待核对]。

若一根中间轴上同时有斜齿轮和锥齿轮，设计斜齿轮旋向时应尽量让斜齿轮产生的轴向力与锥齿轮轴向力相反，以抵消一部分轴向载荷。

3.4 齿面接触疲劳强度公式

[课堂 00:20–00:30]

课堂讲评的钢齿轮简化接触强度公式为：

[
\sigma_H=670.4\sqrt{\frac{KT_1(u+1)}{\psi_d d_1^3u}}\le[\sigma_H]
]

该公式来自齿面接触疲劳强度（赫兹接触强度），用于防止齿面点蚀。

符号	含义	量纲/单位
(K)	载荷系数，综合考虑工作情况、动载、载荷分布等影响	无量纲
(T_1)	小齿轮传递的名义转矩	该公式中取 (N\cdot mm)
(u)	齿数比，(u=z_2/z_1=d_2/d_1)，通常取大轮比小轮	无量纲
(\psi_d)	齿宽系数，(\psi_d=b/d_1)	无量纲
(d_1)	小齿轮分度圆直径	(mm)
(\sigma_H)	齿面接触应力	(MPa)
([\sigma_H])	许用接触应力	(MPa)

设计公式由校核公式对调得到，用来求小齿轮分度圆直径 (d_1)。当两个齿轮的许用接触应力不同时，应代入较小的许用应力进行设计：许用应力越小，计算出的直径要求越大，这样才能同时满足两个齿轮的强度要求。

3.5 齿根弯曲疲劳强度与许用应力

[课堂 00:20–00:30]

齿根弯曲疲劳强度针对轮齿根部折断，校核形式为：

[
\sigma_F\le[\sigma_F]
]

弯曲强度与模数 (m)、齿数 (z)、齿宽 (b)、载荷系数 (K)、转矩 (T_1)、齿形系数 (Y_{Fa}) 和应力修正系数 (Y_{Sa}) 等有关；完整公式应以教材为准。课堂强调：

• 分度圆直径 (d=mz)；
• 齿数 (z) 是无量纲个数，(d) 的长度单位来自模数 (m)；
• 因此模数 (m) 有长度单位，常用 mm；
• 两个齿轮的齿形系数/应力修正系数组合可能不同，应分别校核，取更危险、要求更大模数的结果。

许用应力可写成：

[
[\sigma_H]=\frac{\sigma_{Hlim}}{S_H},\qquad
[\sigma_F]=\frac{\sigma_{Flim}}{S_F}
]

课堂给出的安全系数取值要点：

• 接触强度：一般情况 (S_H=1.0)，失效会造成严重后果时可取 (1.25)；
• 弯曲强度：一般情况 (S_F=1.25)，失效会造成严重后果时可取 (1.5)；
• 具体数值以教材第 93、95 页左右的图表和题目条件为准 [待核对页码]。

课堂例题中：

• 锻钢调质、接触极限应力约 450 MPa、安全系数取 1 时，([\sigma_H]=450,MPa)；
• 弯曲极限应力约 200 MPa、严重后果取安全系数 1.5 时：

[
[\sigma_F]=\frac{200}{1.5}\approx133.3,MPa
]

按题意取整数后约为 (133,MPa)。材料名称、热处理和硬度的课堂口述存在同音不清，计算前应查教材图表核对。

3.6 模数必须按标准系列圆整

[课堂 00:30]

齿轮模数不能只按计算结果随意取值，必须采用标准模数系列。课堂例子中，计算得到模数约为 4.2 mm，标准第一系列中最接近且能满足强度的是 5 mm，因此应向大取为：

[
m=5,mm
]

不能为了贴近计算值取 4 mm，也不应写成 4 cm。教师提醒：教材表 7-1 给出了标准模数系列，设计时通常优先选用第一系列，并按“满足强度、向大圆整”的原则选取。

3.7 齿轮几何计算题示例

[课堂 01:30–01:40]

课堂讲评习题时给出一组参数：齿数比 (u=3/2)，中心距 (a=120,mm)，模数据课堂口述约为 (m=2.4,mm) [待核对]。

标准外啮合圆柱齿轮中心距：

[
a=\frac{m(z_1+z_2)}{2}
]

又有：

[
u=\frac{z_2}{z_1}=\frac32
]

设 (z_1=2k,\ z_2=3k)，代入 (m=2.4,mm,\ a=120,mm)：

[
120=\frac{2.4(2k+3k)}{2}=6k
]

所以 (k=20)，得到：

[
z_1=40,\qquad z_2=60
]

分度圆直径：

[
d_1=mz_1=2.4\times40=96,mm
]

[
d_2=mz_2=2.4\times60=144,mm
]

标准齿轮齿顶高和齿根高为：

[
h_a^*=1,\quad h_a=h_a^*m=m=2.4,mm
]

[
c^*=0.25,\quad h_f=(h_a^*+c^*)m=1.25m=3.0,mm
]

上述 (m=2.4) 据课堂口述推断，若板书或题干模数不同，应按同一方程重新计算。

3.8 齿轮结构形式

[课堂 01:20–01:30]

齿轮结构尺寸与制造方式相关：

• 齿轮轴：当小齿轮齿根圆直径与轴径相差很小、齿和轴不宜分开制造时，把轮齿与轴做成一体；课堂提到约为轴径 1～2.5 倍的尺寸判据，具体数值需查教材 [待核对]。
• 实心齿轮：尺寸较小、要求刚度和强度时采用。
• 腹板式齿轮：在腹板上开孔，减轻质量、节省材料。
• 轮辐式齿轮：尺寸更大的铸造齿轮常采用轮辐结构。
• 焊接齿轮：尺寸过大或铸造、锻造困难时，可采用焊接结构。

齿轮各部分名称包括轮毂、轮辐/腹板、轮缘等。

3.9 齿轮润滑

[课堂 01:20–01:30]

• 圆周速度较低时，可采用油浴润滑：齿轮浸入油中，转动时把油带到啮合区。
• 圆周速度较高时，常采用喷油润滑：用喷嘴把润滑油直接喷向啮合区，以改善润滑和散热。

具体速度界限和润滑油牌号应按教材、设计手册或工况选取。

四、例题、案例或实验

4.1 斜齿轮轴向力抵消

[课堂 00:30–01:00]

题设： 二级斜齿轮传动的中间轴上装有齿轮 2 和齿轮 3，要求选择齿轮 3 旋向，使中间轴轴向载荷尽量小。

步骤：

1. 先判断齿轮 1、2 的旋向和转动方向；
2. 判断齿轮 2 在第一对啮合中是主动轮还是从动轮；
3. 判断齿轮 3 在第二对啮合中是主动轮；
4. 分别求齿轮 2、3 对轴产生的轴向力；
5. 选择齿轮 3 旋向，使 (F_{a2}) 与 (F_{a3}) 方向相反。

结论： 外啮合二级斜齿轮传动中，中间轴上两个齿轮通常取相同旋向，但最终必须结合图示用左右手定则验证。

4.2 锥齿轮与斜齿轮组合轴受力

[课堂 01:00–01:20]

要求： 判断轴上锥齿轮和斜齿轮的圆周力、径向力、轴向力，并选择斜齿轮旋向。

关键步骤：

1. 锥齿轮轴向力从小端指向大端；
2. 为了减小轴承受载，应让斜齿轮轴向力与锥齿轮轴向力相反；
3. 根据轴的转动方向和目标轴向力，用左/右手试判斜齿轮旋向；
4. 圆周力始终按“主反从同”判断；
5. 径向力从接触点指向轴心。

4.3 接触强度许用应力与设计取值

[课堂 00:20–00:30]

条件： 一对齿轮材料和热处理不同，两个许用接触应力 ([\sigma_{H1}])、([\sigma_{H2}]) 不相等。

结论： 由接触强度设计公式求 (d_1) 时，应代入较小的许用接触应力。因为许用应力越小，计算所得直径越大，按该值设计才能同时保护两个齿轮。

4.4 弯曲强度许用应力计算

[课堂 00:20–00:30]

条件： 齿根弯曲极限应力约为 200 MPa，齿轮失效可能造成严重后果，弯曲安全系数取 1.5。

计算：

[
[\sigma_F]=\frac{200}{1.5}=133.3,MPa
]

按题意取整数后约为：

[
[\sigma_F]=133,MPa
]

4.5 模数圆整与几何尺寸

[课堂 00:30、01:30–01:40]

• 计算模数为 4.2 mm 时，应从标准第一系列中向大取为 5 mm。
• 若 (u=3/2)、(a=120,mm)、(m=2.4,mm)，解得 (z_1=40、z_2=60)，(d_1=96,mm)、(d_2=144,mm)。其中模数 2.4 mm 需对照题干核对。

五、术语、公式或关键表达

5.1 齿轮术语与符号

符号	含义
(F_t)	圆周力/切向力；主动轮与转向相反，从动轮与转向相同
(F_r)	径向力；圆柱齿轮从接触点指向轮心
(F_a)	轴向力；斜齿轮用左右手定则，锥齿轮从小端指向大端
(\sigma_H)	齿面接触应力
([\sigma_H])	许用接触应力
(\sigma_F)	齿根弯曲应力
([\sigma_F])	许用弯曲应力
(K)	载荷系数
(T_1)	小齿轮转矩，接触强度公式中用 N·mm
(u)	齿数比，(u=z_2/z_1)
(\psi_d)	齿宽系数，(\psi_d=b/d_1)
(d_1)	小齿轮分度圆直径
(m)	模数，单位 mm，必须按标准系列取值
(Y_{Fa})	齿形系数 [待核对教材符号]
(Y_{Sa})	应力修正系数 [待核对教材符号]

5.2 齿轮公式

• 分度圆直径：

[
d=mz
]

• 外啮合标准圆柱齿轮中心距：

[
a=\frac{m(z_1+z_2)}{2}
]

• 齿面接触疲劳校核：

[
\sigma_H=670.4\sqrt{\frac{KT_1(u+1)}{\psi_d d_1^3u}}\le[\sigma_H]
]

• 齿根弯曲疲劳校核：

[
\sigma_F\le[\sigma_F]
]

• 许用应力：

[
[\sigma_H]=\frac{\sigma_{Hlim}}{S_H},\qquad
[\sigma_F]=\frac{\sigma_{Flim}}{S_F}
]

• 标准齿轮齿顶高、齿根高：

[
h_a=m,\qquad h_f=1.25m
]

六、课堂任务与 DDL

• 翻开教材相关页面对照随堂练习错误，重点看径向力、圆周力、接触强度和弯曲强度公式。[课堂 00:10–00:30]
• 课堂提到教材约第 79 页表 7-1（标准模数系列）、第 91 页（齿轮受力方向）、第 93 页图 7-21（接触许用应力）、第 95 页（弯曲许用应力/安全系数）、第 107 页习题 7-1 和 7-3；页码来自课堂口述，需对照教材核对。
• 教师要求在教材第 107 页做习题 7-1，并继续讲评/练习 7-3 相关受力题。[课堂 01:20–01:40]
• 本次课未明确具体提交截止日期。

七、待核对与疑问

问题	原因	相关来源	建议核对方式
接触/弯曲安全系数的准确取值	课堂上一般工况与严重后果数值较密，口述有混淆	课堂 00:20–00:30	查教材第 93、95 页左右的安全系数表
接触例题中材料热处理和硬度	课堂口述中“铸钢/锻钢、调质”等同音不清	课堂 00:20–00:30	按题干和教材应力图表核对，不能只凭课堂口述
几何例题中的模数是否为 2.4 mm	课堂口述模数为“二九/二点四”等模糊音	课堂 01:30–01:40	对照习题 7-1 题干原始参数
弯曲强度中齿形系数与应力修正系数的选择方法	课堂提到 (Y_F、Y_S) 但完整公式未展开	课堂 00:20–00:30	查教材齿根弯曲强度公式和例题，分别计算两轮
锥齿轮强度计算中的分锥角和当量齿数取法	课堂只提示需按当量齿数判断，未展开完整公式	课堂 01:00–01:20	查锥齿轮受力与强度计算章节，对照图示分解各力
齿轮轴结构尺寸判据“1～2.5 倍”	课堂口述句子不完整	课堂 01:20–01:30	查齿轮结构设计章节确认是齿根圆直径与轴径的关系
教材页码	多个页码来自课堂口述，可能有 ±1～2 页误差	课堂 00:10–01:40	按目录和图表编号检索，不只按页码定位

八、复习与主动回忆

10–20 分钟复习清单

1. 背诵齿轮受力口诀“主反从同、径向对心”，并判断直齿、斜齿、锥齿轮分别是否有轴向力。
2. 用左右手定则判断一道主动斜齿轮的轴向力。
3. 画出锥齿轮小端、大端和轴向力方向。
4. 写出接触强度公式及每个符号的单位，说明为什么设计时代入较小的许用接触应力。
5. 写出弯曲强度校核形式和许用应力公式，区分接触与弯曲安全系数。
6. 复述模数圆整规则，并把计算值 4.2 mm 按第一系列圆整为标准值。
7. 对照习题 7-1，练习由齿数比、中心距和模数求齿数、分度圆直径、齿顶高和齿根高。

主动回忆题

1. 主动斜齿轮和从动斜齿轮的圆周力方向分别如何判断？
2. 为什么二级斜齿轮传动的中间轴常让两个齿轮旋向相同？
3. 锥齿轮轴向力方向如何判断？它和斜齿轮轴向力判断方法有什么不同？
4. 接触疲劳公式中 (K、T_1、u、\psi_d、d_1) 分别是什么含义和单位？
5. 弯曲安全系数和接触安全系数在课堂例题中分别如何取？为什么安全系数判据常写成计算安全系数大于等于许用安全系数？
6. 计算得到模数 4.2 mm 时为什么不能直接取 4 mm？
7. 已知 (u=3/2、a=120,mm、m=2.4,mm)，如何求 (z_1、z_2、d_1、d_2)？

答案要点

1. 主动轮圆周力与转动方向相反，从动轮圆周力与转动方向相同；啮合两轮的力大小相等、方向相反。
2. 中间轴上一个齿轮是从动轮、另一个齿轮是下一级的主动轮，相同旋向配合同一轴转动方向可能使两个轴向力相反，从而抵消部分轴向载荷。
3. 锥齿轮轴向力始终从小端指向大端；斜齿轮要先判断旋向，再对主动轮使用左/右手定则。
4. (K) 为无量纲载荷系数；(T_1) 为小齿轮转矩，单位 N·mm；(u=z_2/z_1) 为无量纲齿数比；(\psi_d=b/d_1) 为无量纲齿宽系数；(d_1) 为小齿轮分度圆直径，单位 mm。
5. 课堂要点为接触一般取 (S_H=1.0)、严重后果取 1.25；弯曲一般取 (S_F=1.25)、严重后果取 1.5。安全系数越大代表安全裕度越大，所以计算安全系数应不小于规定的许用/最小安全系数。
6. 模数必须采用标准系列，并应向大取以保证强度；4.2 mm 对应第一系列应取 5 mm。
7. 由 (u=z_2/z_1=3/2) 设 (z_1=2k,z_2=3k)，代入 (a=m(z_1+z_2)/2) 得 (k=20)，所以 (z_1=40,z_2=60)；再由 (d=mz) 得 (d_1=96,mm,d_2=144,mm)。