信号分析基础：信号分类、傅里叶级数与频谱
机械工程测试技术信号分析基础笔记：信号分类、时域频域、傅里叶级数三角形式与复指数形式、幅值谱相位谱、双边谱单边谱（含方波展开与欧拉公式）
本篇为《机械工程测试技术（测试技术）》第二章”信号及其描述/信号分析基础”的课堂整理。围绕教师明确的四个重点展开：信号分类、周期信号分析、非周期信号分析、随机信号的主要性质（了解），核心落在确定性信号尤其是周期信号的傅里叶级数（三角形式 + 复指数形式）与频谱上。全篇公式统一用
$...$书写，ASR 记录中口语化、含糊或与教材符号不一致处均标注【以教材为准】。
一、核心结论（先记住这 20 条）
- 测量次数理论上越多、统计结果越接近真值；实际只能从总体中抽取一小部分作为样本（统计量）去表征总体特征，必然存在误差，但样本量必须达到一定数量，结果才会足够接近真值。
- 信号最基本的分类是按能否表示为时间的确定函数，分为确定性信号与随机信号（非确定性信号）；本课程重点研究确定性信号，随机信号只作了解。
- 确定性信号再分为周期信号与非周期信号；非周期信号又分为准周期信号与瞬态信号（衰减/非周期连续信号）。
- 周期信号满足 $x(t)=x(t+nT)$（$n=1,2,3,\dots$），按固定周期 $T$ 周而复始；最简单的周期信号是简谐振动信号。
- 弹簧—质量系统在无阻尼自由振动下作简谐振动：$x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$，其中固有角频率 $\omega_0=\sqrt{k/m}$，$x_0$ 为初始位移（振幅），$\varphi_0$ 为初相位。
- 准周期信号由两种或两种以上周期信号叠加而成，但各组成频率之比为无理数、找不到公共周期，例如 $x(t)=\sin\omega t+\sin\sqrt{2},\omega t$。
- 瞬态信号不能周期重复，典型为带指数衰减项的衰减振动（如阻尼自由振动），出现一下即消失。
- 随机信号无法预测未来取值、不能用确定的时间函数表达，只能用概率统计规律描述，各类噪声是典型代表，本课不作重点。
- 按自变量（时间）与幅值是否连续，可分为连续信号与离散信号：自变量连续的是连续信号；自变量与幅值都连续的称为模拟信号；自变量与幅值都离散的称为数字信号，数字信号在计算机中处理、可用离散序列表示。
- 连续信号只要求自变量连续，其幅值未必连续（允许跳变）；不要把”连续信号”与”幅值连续”等同。
- 按能量/功率可分为能量信号与功率信号。非电量测量中常把被测量转换成电压（电流），取单位电阻 $R=1$ 时瞬时功率 $p(t)=u^2/R=x^2(t)$。
- 信号能量为瞬时功率对时间的积分 $E=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t),dt$；能量有限（积分收敛）的是能量信号（多为瞬态、脉冲信号）。
- 能量无限、但在任一有限区间内平均功率有限的是功率信号，无阻尼持续振动、周期信号都属于功率信号。
- 时域描述以时间为横坐标画出波形图 $x(t)$，直观、实时，缺点是不能直接揭示信号内在的频率组成及各频率成分的幅值、相位。
- 频域描述对周期信号用傅里叶级数、对非周期信号用傅里叶变换，把以时间为自变量的信号变换为以频率为自变量的信号，得到频谱图。
- 频谱图包含两张：幅值谱（幅度谱）与相位谱；它能清楚给出信号由哪些频率成分构成、各成分的幅值与相位。
- 时域描述与频域描述等价、可逆，二者所含信息完全相同，只是从不同角度描述同一信号。
- 周期信号能用傅里叶级数展开需满足狄利克雷（Dirichlet）条件：一个周期内间断点有限、极值点有限、绝对可积；工程上遇到的周期信号基本都满足。
- 三角形式傅里叶级数把周期信号分解为直流分量 $a_0$ 与一系列正弦、余弦（谐波）的叠加；复指数（指数）形式借助欧拉公式把它写成 $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega_0 t}$，对应双边谱。
- 实信号的复系数满足 $c_{-n}=c_n^{*}$（共轭），且 $|c_n|=\tfrac12 A_n$；即双边谱在 $\pm n\omega_0$ 处各取单边幅值的一半，单边谱在 $n\omega_0$ 处的幅值等于双边谱 $\pm n\omega_0$ 两处之和。负频率（复频率）只是数学计算的需要，可理解为旋转相量正、反两个旋转方向。
二、知识结构（本讲在课程中的位置）
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三、详细知识点
（〇）课前衔接：测量数据的抽样与误差
- 理论上，对某一被测量重复测量的次数越多，所得统计结果越接近其真值。
- 但在实际生产/实验环境中不可能无限次测量，只能从被测量的总体中取出一小部分作为样本（采样数据、统计量），用它来表征测量数据总体的特征值。
- 用样本表征总体必然带来一定误差；从统计角度看，只要测量（采样）次数达到一定数量，所获得的统计值就会足够接近真值、结果可信。
- 测量数据处理的基本要求：由采样数据求出相应的统计量（如均值等），获得一个既接近真实值又可信的结果。这部分是上一节”测量基础”的收尾，本节进入信号本身的分析。
（一）信号分析概述与本讲范围
教师对照课本对本章内容重新做了梳理，主要围绕四点：
- 信号分类——常见信号有哪些、各是什么样的信号；
- 周期信号（信号中一个重要类别）的分析；
- 非周期信号的分析；
- 傅里叶变换的主要性质，以及一些典型信号的频谱情况。
同时明确：
- 重点讲确定性信号，尤其是周期信号的强度（时域、频域）描述；
- 随机信号部分不做重点要求（只需了解其服从概率统计规律）。
（二）信号的分类
1. 按能否表示为时间的确定函数：确定性信号 / 随机信号
（1）确定性信号
若信号可以表示为一个确定的时间函数 $x(t)$，则任意给定时刻（$1$ 秒、$2$ 秒、$3$ 秒……）都能确定信号在该时刻的取值，这类信号称为确定性信号。它又分为：
- 周期信号：按一定时间间隔周而复始、重复出现（理论上”无始无终”，实际只是在足够长时间内重复）。数学定义为
$$x(t)=x(t+nT),\qquad n=1,2,3,\dots$$
其中 $T$ 为周期，$n$ 为周期数。
- 最简单的周期信号是简谐振动信号。以一个物体挂在弹簧下方为例，在无阻尼（不考虑阻尼）条件下，质量块偏离平衡位置的位移为
$$x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0),\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$
其中：$x_0$（振幅）由初始位移决定，$\varphi_0$ 为初相位（由初始条件决定），$\omega_0$ 为系统固有角频率，$k$ 为弹簧刚度，$m$ 为质量。无阻尼意味着没有能量损耗，质量块将一直等幅振动下去。
由多个不同频率简谐信号叠加可构成复杂周期信号。
非周期信号：不满足周期性重复，又分为两类：
- 准周期信号：由两种或两种以上周期信号叠加而成，但各组成成分之间找不到公共周期（各频率之比不是有理数），因此叠加后不再是周期信号。例如
$$x(t)=\sin\omega t+\sin\sqrt{2},\omega t$$
两个分量各自都是周期信号，但二者频率之比为 $\sqrt{2}$（无理数），找不到一个公共周期使整体重复，故为准周期信号。
- 瞬态信号（非周期连续信号）：信号在短时间内出现、随即衰减消失，不能周期重复。典型例子是带指数衰减项的衰减振动（阻尼自由振动），波形上看似也在上下波动，但外面包着一个不断衰减的指数项，幅值越来越小直至为零。
（2）随机信号（非确定性信号）
- 不能预测其未来取值，也无法用确定的数学（时间）函数表达；
- 一般服从一定的概率统计规律，需用概率统计方法估计其特征；
- 典型代表是各种噪声（有的噪声较平稳、有的夹杂大幅波动）。
- 随机信号在本课程中只要求”知道、了解”，不深入展开。
小结：确定性信号 = 周期信号 + 非周期信号；非周期信号 = 准周期信号 + 瞬态信号；与确定性信号相对的是随机信号。
2. 按自变量与幅值是否连续：连续信号 / 离散信号
- 连续信号：自变量（独立变量，通常是时间）连续取值的信号。注意：连续信号只规定自变量连续，幅值不一定连续——幅值可以连续，也可以出现跳变（不连续）。
- 当自变量与幅值都连续时，就是通常所说的模拟信号。
- 离散信号：自变量离散（不连续）、幅值也离散的信号，可用离散序列表示；在计算机（”核电/电脑”）中使用的就是数字信号，其时间与幅值都只在离散点上取值（相邻点之间是跳变，而非连续过渡）。
判别要点：先看自变量（时间）是否连续，再看幅值是否连续。时间连续、幅值也连续＝模拟信号；时间与幅值都离散＝数字信号。
3. 按能量与功率：能量信号 / 功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电流信号。把电压加到电阻上时，瞬时功率为
$$p(t)=\frac{u^2(t)}{R}$$
为便于讨论取**单位电阻 $R=1$**，并以 $x(t)$ 表示电压信号，则
$$p(t)=x^2(t)$$
瞬时功率对时间的积分就是信号在该区间上的能量：
$$E=\int_{-\infty}^{+\infty}p(t),dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t),dt$$
- 能量信号：信号能量有限（上述积分收敛、为有限值）。脉冲信号、瞬态信号通常是能量信号。
- 功率信号：能量趋于无穷大，但在任一有限时间区间内平均功率有限。例如无阻尼持续振动会一直存在、总能量无限，但限定在某段时间内其功率必然有限，这类信号归为功率信号，周期信号一般是功率信号。有限区间平均功率可写为
$$P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x^2(t),dt$$
分类部分的学习要求：重点掌握各类信号的概念与判别，其余特点有大致印象即可。
（三）信号的时域描述与频域描述
1. 时域描述（波形图）
- 以时间 $t$ 为横坐标（自变量）、信号幅值为纵坐标，描述信号随时间变化的关系，即波形图 $x(t)$。
- 优点：形象、直观，能实时看到信号随时间的变化，对单一、变化平缓的信号最好观察。
- 缺点：当信号由多个频率成分叠加而成时，仅凭时域波形无法很快分辨出它由哪几种频率构成、各成分的幅值与相位是多少。例如振动测量中，一个振动源可能由多个零部件的振动叠加而成，时域图难以直接区分。
2. 频域描述（频谱图）
为揭示频率构成，需要把信号从时域变换到频域：
- 周期信号：采用傅里叶级数展开；
- 非周期信号：采用傅里叶变换。
其本质是把”以时间为自变量”的信号，变换为”以频率为自变量”的信号，建立幅值、相位与频率之间的关系，所得图形即频谱图。频谱图以频率为横坐标，通常包含两张：
- 幅值谱（幅度谱）：表示各频率成分的幅值大小；
- 相位谱：表示各频率成分的初相位。
由频谱可以清楚知道：信号由哪些频率构成、每个频率分量的幅值与相位。
3. 时域与频域的关系
- 时域描述与频域描述是等价的，可以相互（可逆）变换：时域经傅里叶分析变换到频域，频域也可反变换回时域；
- 两种描述所含的整体信息完全相同，只是表现形式、使用场合不同；
- 工程实测（如示波器常见时域波形、频谱分析仪给出频谱）中二者配合使用。把信号从时域转换到频域进行分析，是本章的重点方法。
（四）周期信号的傅里叶级数（本章重点）
1. 狄利克雷（Dirichlet）条件
对周期信号作傅里叶级数展开需满足狄利克雷条件，即在一个周期内：
- 间断点的数目有限；
- 极值点（极大、极小值）的数目有限；
- 信号绝对可积（$\int_T|x(t)|,dt$ 有限）。
这是数学家为使傅里叶级数理论严谨而提出的条件。在本阶段遇到的工程周期信号基本都满足该条件，都可以用傅里叶级数展开。
2. 为什么要研究傅里叶级数
理想方波在电路中很常见，但在真实物理世界中，信号不可能在一瞬间从高电平”跳”到低电平——任何变化都需要时间（哪怕极短）。因此理想方波这类含瞬时跳变的波形在物理上并不能严格实现。借助傅里叶级数，可以把它看成由一系列正弦信号、余弦信号（各次谐波）叠加而成，从而在数学上严谨地描述、在频谱上分析它。
结论：任何满足狄利克雷条件的周期信号（周期函数），都可以分解为直流分量与一系列正弦、余弦信号之和。
3. 三角形式傅里叶级数
设周期信号周期为 $T$，基波角频率 $\omega_0=\dfrac{2\pi}{T}$，在一个周期（取 $-T/2\sim T/2$）上：
$$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\big]$$
其中各系数（傅里叶系数）为：
$$a_0=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t),dt\quad\text{（直流分量，一个周期的平均值）}$$
$$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos(n\omega_0 t),dt$$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin(n\omega_0 t),dt$$
说明：
- $a_0$ 是直流分量（信号在一个周期内的平均电平，不含任何波动）；
- $a_n$、$b_n$ 分别是各次余弦、正弦谐波的系数；$n=1$ 对应基波，$n=2,3,\dots$ 对应二次、三次……谐波；
- 有的信号可能只含正弦项、有的只含余弦项、有的两者都有。
4. 合并（振幅—相位）形式
令第 $n$ 次谐波的幅值与初相位为
$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\qquad
\cos\varphi_n=\frac{a_n}{A_n},\qquad
\sin\varphi_n=\frac{b_n}{A_n},\qquad
\varphi_n=\arctan\frac{b_n}{a_n}$$
利用 $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$，可把级数合并写成
$$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega_0 t-\varphi_n)$$
即每个谐波由”幅值 $A_n$ + 初相位 $\varphi_n$ + 频率 $n\omega_0$”三要素确定。考试一般不要求现场推导傅里叶系数，但日常作业应练习，目的是熟悉公式；要会用这几组公式，并理解每个量的含义。
5. 重点例题：周期方波的傅里叶级数展开
信号定义：周期为 $T$、幅值为 $\pm A$ 的方波，在一个周期 $-T/2\sim T/2$ 内
$$x(t)=\begin{cases}-A,& -T/2<t<0\ +A,& 0<t<T/2\end{cases}$$
该波形关于原点奇对称，是奇函数。
第一步：判断奇偶、确定零系数。
- 直流分量：正负半周面积相等、相互抵消，$a_0=0$；
- $x(t)$ 为奇函数、$\cos(n\omega_0 t)$ 为偶函数，奇×偶＝奇，在对称区间 $-T/2\sim T/2$ 上积分为零，故 $a_n=0$；
- $x(t)$ 为奇函数、$\sin(n\omega_0 t)$ 为奇函数，奇×奇＝偶，$b_n$ 不为零，可提出因子 $2$ 只在半周期积分。
第二步：计算 $b_n$。
$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin(n\omega_0 t),dt
=\frac{4A}{T}\int_{0}^{T/2}\sin(n\omega_0 t),dt$$
利用 $\omega_0=\dfrac{2\pi}{T}$、$\dfrac{n\omega_0 T}{2}=n\pi$、$\cos n\pi=(-1)^n$：
$$b_n=\frac{4A}{T}\cdot\frac{1}{n\omega_0}\big(1-\cos n\pi\big)
=\frac{2A}{n\pi}\big[1-(-1)^n\big]$$
于是：
- 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n=1$，$b_n=0$；
- 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n=-1$，$b_n=\dfrac{4A}{n\pi}$。
第三步：写出展开式。 方波只含奇次谐波：
$$\boxed{,x(t)=\frac{4A}{\pi}\Big(\sin\omega_0 t+\frac{1}{3}\sin3\omega_0 t+\frac{1}{5}\sin5\omega_0 t+\cdots\Big)
=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\big[(2k+1)\omega_0 t\big],}$$
各奇次谐波频率依次为 $\omega_0,,3\omega_0,,5\omega_0,,7\omega_0,\dots$，对应幅值依次为
$$\frac{4A}{\pi},\ \frac{4A}{3\pi},\ \frac{4A}{5\pi},\ \frac{4A}{7\pi},\ \dots$$
随频率（谐波次数）增高，幅值按 $1/n$ 规律依次递减。
【以教材为准】课堂口语在展开式用 $\sin$ 还是 $\cos$ 上有过反复。按上面”负半周 $-A$、正半周 $+A$、关于原点奇对称”的标准定义，方波为奇函数，展开式必为 $\sin$ 奇次谐波（这也是教材中最常见的方波级数）。若教材把方波取成关于纵轴偶对称（相当于在时间上平移 $T/4$），则会得到 $\cos$ 形式且带正负号，二者仅相差一个时间平移（即初相位 $\varphi_n$ 取 $0$ 或 $\pi$），幅值谱完全相同。做题时以所用教材给出的方波零点位置为准。
6. 由展开结果画频谱
- 幅值谱：以频率为横坐标，在每个谐波频率 $n\omega_0$ 处画一条竖线（离散的”线状谱”），高度为该谐波幅值 $A_n$。方波在 $\omega_0$ 处高 $4A/\pi$、$3\omega_0$ 处高 $4A/(3\pi)$、$5\omega_0$ 处高 $4A/(5\pi)$……
- 相位谱：以 $\varphi_n$ 为高度。本例因 $a_n=0$，各谐波相位为 $0$（或按符号约定取 $\pi$），相位谱为零/很简单。
频谱的工程意义：
- 谐波频率越高，其幅值越小。这是因为实际（物理）系统具有惯性，信号不可能”变化得又快、幅度又大”；变化越快（频率越高），系统越跟不上，高频幅值迅速衰减。
- 因此在实际采集、分析信号时，当高次谐波幅值小到一定程度即可忽略（认为其不存在），只需取到有限次（一定数量的）谐波即可满足精度，不必取无穷多项。
- 有限项谐波叠加逼近含跳变信号时，在跳变沿附近会出现过冲（吉布斯现象），项数越多过冲越靠近跳变点但峰值百分比不趋于零——了解即可。
- 三角波的傅里叶展开比 方波更麻烦（系数不同），教师布置自行练习，方法与步骤完全相同：先判奇偶定零系数，再积分求 $a_n$、$b_n$。
7. 傅里叶级数的方法论意义
傅里叶级数是一种数学分解手段：把任意（满足条件的）周期波形表示成一系列不同频率正弦/余弦的叠加。这并不意味着物理上该信号”真的由这些波实体组成”，而是说当需要用数学方式表达、分析或在仪器/软件中处理它时，这是最有效的工具。许多分析软件内部都集成了傅里叶计算。
（五）复指数（指数）形式傅里叶级数（难点）
1. 欧拉公式
$$e^{\pm j\omega t}=\cos\omega t\pm j\sin\omega t$$
由此可解出
$$\cos\omega t=\frac{1}{2}\big(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\big),\qquad
\sin\omega t=\frac{1}{2j}\big(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\big)$$
常用特殊值：$e^{\pm j\pi}=-1$。欧拉公式在三角函数与复指数之间建立了联系。
2. 复系数与展开式
把上述关系代入三角形式，令
$$c_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n),\qquad
c_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+jb_n),\qquad
c_0=a_0$$
则级数可合并为对正、负 $n$ 求和的复指数形式：
$$\boxed{,x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega_0 t},}$$
其中复傅里叶系数为
$$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jn\omega_0 t},dt$$
复系数的模（双边幅值）满足
$$|c_n|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}A_n\qquad(n\ne 0)$$
对实信号，复系数成对共轭：
$$c_{-n}=c_n^{*}$$
3. 单边谱与双边谱
- 三角形式对应单边谱：频率只取 $0\to+\infty$（$n=0,1,2,\dots$），在 $n\omega_0$ 处的幅值为 $A_n$。
- 复指数形式对应双边谱：频率取 $-\infty\to+\infty$（$n=0,\pm1,\pm2,\dots$），在 $+n\omega_0$ 与 $-n\omega_0$ 处各有一根谱线，每根的幅值 $|c_n|=\tfrac12 A_n$。
- 换 算关系：单边谱在 $n\omega_0$ 处的幅值 = 双边谱在 $+n\omega_0$、$-n\omega_0$ 两处幅值之和（两半相加还原为 $A_n$）。
- 复系数一般是复数，因此还可分别画实部谱与虚部谱（或模谱与相位谱）。
4. 两个基本信号的双边谱
（1）$x(t)=\cos\omega_0 t$（实偶函数型）
由 $\cos\omega_0 t=\tfrac12 e^{j\omega_0 t}+\tfrac12 e^{-j\omega_0 t}$，得
$$c_1=\frac12,\qquad c_{-1}=\frac12,\qquad c_n=0\ (n\ne\pm1)$$
- 谱线只出现在 $+\omega_0$、$-\omega_0$，高度各为 $1/2$；
- 系数只有实部、没有虚部，实部谱在 $\pm\omega_0$ 各为 $1/2$，虚部谱为零。
（2）$x(t)=\sin\omega_0 t$（实奇函数型）
由 $\sin\omega_0 t=\dfrac{1}{2j}e^{j\omega_0 t}-\dfrac{1}{2j}e^{-j\omega_0 t}$，得
$$c_1=\frac{1}{2j}=-\frac{j}{2},\qquad
c_{-1}=-\frac{1}{2j}=\frac{j}{2},\qquad
c_n=0\ (n\ne\pm1)$$
- 谱线同样在 $\pm\omega_0$、模各为 $1/2$；
- 但系数只有虚部、没有实部：$+ \omega_0$ 处为 $-j/2$，$-\omega_0$ 处为 $+j/2$，二者共轭。
对比记忆：$\cos$ 的双边谱”只有实部”，$c_1=c_{-1}=1/2$；$\sin$ 的双边谱”只有虚部”，$c_1=-j/2$、$c_{-1}=j/2$。两者每根谱线的模都是对应单边幅值（$1$）的一半，即 $1/2$。
5. 负频率（复频率）是怎么回事
实际角频率本应只有 $0,1,2,\dots$ 这些正值，双边谱中出现的负频率（复频率）是数学计算上的需要，并非真实存在”负的振动快慢”。一种直观理解：把 $e^{j\omega t}$ 看作一个旋转相量（旋转矢量），正频率对应一个旋转方向、负频率对应相反的旋转方向；该相量在实轴、虚轴上的投影就分别给出余弦、正弦分量。建立”复频率/负频率”概念即可，不必把它当成物理上的负振动。
教师指定本部分对应课本约第 25 页，重点公式为教材中的式（2-10）、式（2-12）、式（2-19）左右，复习时对照教材页码与符号【以教材为准】。
（六）非周期信号与随机信号（预告与了解）
- 非周期信号：不能展开成离散的傅里叶级数，而要采用傅里叶变换，其频谱是连续谱（频率连续分布），这是后续小节内容。瞬态信号即典型的非周期信号。
- 随机信号：不存在确定的频谱函数，需用均值、方差、相关函数、功率谱密度等统计特征描述，本课程只要求了解其”服从概率统计规律、不可精确预测”的特点。
四、典型例题与解题方法汇总
| 序号 | 题型 | 关键方法 / 结论 |
|---|---|---|
| 例1 | 判断信号类别 | 先看能否写成确定时间函数（确定/随机）；再看是否 $x(t)=x(t+nT)$（周期/非周期）；非周期看是”无理频率比叠加”（准周期）还是”衰减消失”（瞬态） |
| 例2 | 准周期判别 | $\sin\omega t+\sin\sqrt2,\omega t$ 频率比 $\sqrt2$ 为无理数、无公共周期 → 准周期 |
| 例3 | 模拟/数字信号判别 | 自变量连续、幅值也连续＝模拟（连续）；自变量与幅值都离散＝数字（离散） |
| 例4 | 能量/功率信号判别 | $\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt$ 有限＝能量信号；总能量无限但有限区间平均功率有限＝功率信号（周期、持续振荡） |
| 例5 | 简谐振动参数 | $x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$，$\omega_0=\sqrt{k/m}$，$x_0$ 振幅、$\varphi_0$ 初相位 |
| 例6 | 求傅里叶系数 | 套 $a_0$、$a_n$、$b_n$ 三个积分公式；先利用奇偶性判断哪些系数为零以简化 |
| 例7 | 方波展开 | 奇函数 → $a_0=a_n=0$；偶数 $b_n=0$、奇数 $b_n=4A/(n\pi)$；只含奇次正弦谐波 |
| 例8 | 画幅值谱 | 横坐标频率，在 $n\omega_0$ 画高度 $A_n$ 的离散竖线；方波高度 $4A/(n\pi)$ 随 $n$ 衰减 |
| 例9 | 三角/复指数形式互换 | 用欧拉公式；$c_n=\tfrac12(a_n-jb_n)$、$c_{-n}=\tfrac12(a_n+jb_n)$、$c_0=a_0$ |
| 例10 | 单边/双边幅值换算 | $ |
| 例11 | $\cos\omega_0t$ 双边谱 | $c_1=c_{-1}=1/2$，只有实部 |
| 例12 | $\sin\omega_0t$ 双边谱 | $c_1=-j/2$、$c_{-1}=j/2$，只有虚部，二者共轭 |
方波类题的标准解题步骤（务必掌握）：
- 写出一个周期内 $x(t)$ 的分段表达式，画出波形、判断关于纵轴（偶）还是原点（奇）对称；
- 由奇偶性 + 对称区间积分性质，直接判定 $a_0$、$a_n$、$b_n$ 中哪些为零；
- 对非零系数套用积分公式，代入 $\omega_0=2\pi/T$、$\cos n\pi=(-1)^n$ 化简；
- 区分 $n$ 为奇、偶，写出最终级数；
- 列各次谐波频率与幅值，画幅值谱、相位谱，并说明高频衰减规律。
五、术语与公式速查表
| 术语 / 符号 | 含义 / 公式 |
|---|---|
| 总体、样本（统计量） | 被测量全体 / 实际抽取的一小部分测量数据 |
| 确定性信号 | 可写成确定时间函数 $x(t)$，任意时刻取值可确定 |
| 随机信号 | 不能预测、无确定函数，服从概率统计规律，如噪声 |
| 周期信号 | $x(t)=x(t+nT)$；含简谐信号与复杂周期信号 |
| 简谐振动 | $x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$，$\omega_0=\sqrt{k/m}$ |
| 准周期信号 | 两个以上周期信号叠加、频率比为无理数、无公共周期 |
| 瞬态信号 | 不能周期重复，如指数衰减振动 |
| 模拟信号 | 自变量与幅值都连续的连续信号 |
| 数字信号 | 自变量与幅值都离散，计算机处理，用离散序列表示 |
| 瞬时功率（$R=1$） | $p(t)=x^2(t)$ |
| 信号能量 | $E=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t),dt$ |
| 平均功率 | $P=\lim\limits_{T\to\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x^2(t),dt$ |
| 能量信号 / 功率信号 | 能量有限 / 能量无限但有限区间功率有限 |
| 时域描述 | 波形图 $x(t)$，横坐标时间，直观但不显示频率构成 |
| 频域描述 | 周期用傅里叶级数、非周期用傅里叶变换，得频谱 |
| 频谱 | 幅值谱 + 相位谱，横坐标为频率 |
| 基波角频率 | $\omega_0=2\pi/T$ |
| 狄利克雷条件 | 一周期间断点有限、极值有限、绝对可积 |
| 三角形式 | $x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t]$ |
| 直流分量 | $a_0=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t),dt$ |
| 余弦/正弦系数 | $a_n=\frac2T\int_T x(t)\cos n\omega_0t,dt$；$b_n=\frac2T\int_T x(t)\sin n\omega_0t,dt$ |
| 谐波幅值/相位 | $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$；$\varphi_n=\arctan(b_n/a_n)$ |
| 合并形式 | $x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega_0t-\varphi_n)$ |
| 方波级数 | $x(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\sin[(2k+1)\omega_0t]$ |
| 欧拉公式 | $e^{\pm j\omega t}=\cos\omega t\pm j\sin\omega t$ |
| 复系数 | $c_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jn\omega_0t},dt$ |
| 复指数形式 | $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega_0t}$ |
| 系数关系 | $c_n=\tfrac12(a_n-jb_n)$，$c_{-n}=\tfrac12(a_n+jb_n)$，$c_0=a_0$ |
| 双边幅值 | $\lvert c_n\rvert=\tfrac12 A_n$；实信号 $c_{-n}=c_n^{*}$ |
| 单边/双边谱 | 单边频率 $0!\to!+\infty$；双边 $-\infty!\to!+\infty$，正负各半 |
| $\cos\omega_0t$ | $c_1=c_{-1}=1/2$（只有实部） |
| $\sin\omega_0t$ | $c_1=-j/2,\ c_{-1}=j/2$（只有虚部） |
六、课堂任务、实训与复习要求
- 对照课本约第 25 页，复习式（2-10）、式（2-12）、式（2-19）等傅里叶级数相关公式，能由时域波形画出频域频谱。
- 必须会做方波的傅里叶级数展开全流程（判奇偶 → 定零系数 → 积分 → 分奇偶 → 写级数 → 画频谱）。
- 三角波展开作为自行练习题，步骤与方波相同，注意其系数与方波不同。
- 会用欧拉公式在三角形式与复指数形式之间互换；会求 $\cos\omega_0t$、$\sin\omega_0t$ 的双边谱，分清实部谱、虚部谱。
- 理解单边谱与双边谱的幅值换算（相差一半、正负相加），理解负频率只是数学需要。
- 概念题：能准确区分确定性/随机、周期/非周期/准周期/瞬态、连续（模拟）/离散（数字）、能量/功率信号，并举例。
七、待核对与以教材为准的地方
- 方波展开式课堂口语在 $\sin$、$\cos$ 上有反复：本稿按”关于原点奇对称的标准方波”采用 $\sin$ 奇次谐波；若教材方波零点取法不同则为 $\cos$ 形式，以教材波形零点与符号为准，二者仅差时间平移（相位）。
- 合并形式中相位符号约定（$+\varphi_n$ 还是 $-\varphi_n$、$\varphi_n=\arctan(b_n/a_n)$ 的象限）各教材写法略有差异，以教材公式为准；幅值 $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ 不受影响。
- 课本具体页码（约 25 页）与公式编号（2-10、2-12、2-19 等）按教师口述记录，复习时请与手中教材核对。
- 能量信号/功率信号的严格数学定义（极限、平均功率区间）以教材为准；本稿给出工程上常用写法。
- 随机信号、傅里叶变换性质与典型信号连续谱本讲未深入，属后续内容，本稿不展开、不杜撰。
八、复习自测（25 题，含答案与提示）
1. 为什么实际测量中只能用样本（统计量）表征总体？这样做有什么前提？
答：不可能无限次测量，只能从总体中抽取一小部分样本；用样本表征总体必然有误差，前提是测量（采样）次数达到一定数量，统计值才足够接近真值。
2. 信号按能否表示为时间的确定函数分为哪两类？本课重点是哪类？
答：确定性信号与随机信号；本课重点研究确定性信号，随机信号只了解。
3. 写出周期信号的数学定义。
答：$x(t)=x(t+nT)$，$n=1,2,3,\dots$，即每隔周期 $T$ 重复。
4. 写出无阻尼弹簧—质量系统简谐振动表达式及固有角频率。
答：$x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$，$\omega_0=\sqrt{k/m}$。
5. 简谐表达式中 $x_0$、$\varphi_0$ 分别由什么决定？
答：$x_0$ 为振幅（由初始位移决定），$\varphi_0$ 为初相位（由初始条件决定）。
6. 确定性信号中的非周期信号分为哪两种？
答：准周期信号与瞬态（衰减）信号。
7. 什么是准周期信号？举一例。
答：由两种以上周期信号叠加、但各频率比为无理数、无公共周期；如 $\sin\omega t+\sin\sqrt2,\omega t$。
8. 瞬态信号的典型代表是什么？
答：带指数衰减项的衰减振动（阻尼自由振动），出现后很快衰减消失。
9. 随机信号有什么特点？举一类典型信号。
答：不能预测未来取值、不能用确定时间函数表达，只能用概率统计描述；典型为各类噪声。
10. 连续信号的”连续”针对哪个量？它的幅值一定连续吗？
答：针对自变量（时间）连续；幅值不一定连续，允许跳变。
11. 什么是模拟信号、什么是数字信号？
答：自变量与幅值都连续的是模拟信号；自变量与幅值都离散、用离散序列表示、供计算机处理的是数字信号。
12. 取单位电阻时，信号瞬时功率、能量分别怎样表示？
答：$p(t)=x^2(t)$；$E=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t),dt$。
13. 如何区分能量信号与功率信号？各举一例。
答：能量积分有限为能量信号（脉冲、瞬态）；总能量无限但有限区间平均功率有限为功率信号（周期信号、无阻尼持续振动）。
14. 时域波形图的优点和主要缺点是什么？
答：优点是直观、实时反映信号随时间变化；缺点是不能直接揭示信号的频率组成及各频率成分的幅值、相位。
15. 周期信号与非周期信号分别用什么数学工具变换到频域？
答：周期信号用傅里叶级数，非周期信号用傅里叶变换。
16. 频谱图包含哪两张图？横坐标是什么？
答：幅值谱（幅度谱）与相位谱；横坐标为频率。
17. 时域描述与频域描述有何关系？
答：二者等价、可逆，所含信息相同，可相互变换，只是描述角度不同。
18. 傅里叶级数展开的狄利克雷条件是什么？
答：一个周期内间断点数目有限、极值点数目有限、信号绝对可积。
19. 为什么理想方波在物理上不能严格实现？
答：它要求信号在高低电平间瞬时跳变（零时间完成），而任何物理变化都需要时间。
20. 写出三角形式傅里叶级数及 $a_0$、$a_n$、$b_n$ 公式。
答：$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t]$；$a_0=\frac1T\int_T x(t)dt$，$a_n=\frac2T\int_T x(t)\cos n\omega_0t,dt$，$b_n=\frac2T\int_T x(t)\sin n\omega_0t,dt$，$\omega_0=2\pi/T$。
21. $a_0$ 的物理意义是什么？
答：信号在一个周期内的平均值，即直流分量。
22. 写出谐波幅值 $A_n$ 与相位 $\varphi_n$ 的表达式。
答：$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，$\cos\varphi_n=a_n/A_n$、$\sin\varphi_n=b_n/A_n$、$\varphi_n=\arctan(b_n/a_n)$。
23. 关于原点奇对称的方波，哪些傅里叶系数为零？为什么？
答：$a_0=0$、$a_n=0$；奇函数在对称区间积分为零，且奇函数×偶函数（cos）＝奇函数，对称区间积分为零；只有奇函数×奇函数（sin）＝偶函数的 $b_n$ 非零。
24. 标准方波（奇对称、幅值 $\pm A$）的展开式是怎样的？各次谐波幅值如何变化？
答：$x(t)=\frac{4A}{\pi}\big(\sin\omega_0t+\frac13\sin3\omega_0t+\frac15\sin5\omega_0t+\cdots\big)$，只含奇次谐波；幅值 $4A/(n\pi)$ 随频率增高按 $1/n$ 递减。
25.（复指数）写出欧拉公式、复系数公式，并给出 $\cos\omega_0t$ 与 $\sin\omega_0t$ 的双边谱系数；说明双边谱幅值为何是单边的一半。
答：$e^{\pm j\omega t}=\cos\omega t\pm j\sin\omega t$；$c_n=\frac1T\int_T x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$，$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega_0t}$。$\cos\omega_0t$：$c_1=c_{-1}=1/2$（只有实部）；$\sin\omega_0t$：$c_1=-j/2$、$c_{-1}=j/2$（只有虚部）。因 $|c_n|=\tfrac12 A_n$，单边谱在 $n\omega_0$ 的幅值等于双边谱 $\pm n\omega_0$ 两根谱线之和，故每根只有一半；负频率是数学（旋转相量两个方向）的需要。
说明：本篇依据课堂录音逐字稿整理，已剔除课前闲聊、游戏、唱歌、外卖等与课程无关内容；公式与符号以通用《机械工程测试技术》教材表述为准并对课堂口语作了规范化，个别页码、公式编号及方波相位约定已在第七部分标注【以教材为准】，复习时请对照手中教材核对。