四杆机构曲柄条件、急回特性与凸轮机构设计

机械原理复习笔记：铰链四杆机构曲柄存在条件与急回特性、凸轮机构运动规律与反转法设计（含考点）

本文整理机械原理复习课《铰链四杆机构与凸轮机构》。前半部分复习铰链四杆机构：三大基本形式、曲柄存在的两个条件（格拉霍夫杆长条件＋最短杆为连架杆或机架）、按最短杆角色判定曲柄摇杆/双曲柄/双摇杆的方法、极位夹角 θ 与行程速比系数 $K=(180°+\theta)/(180°-\theta)$、压力角与传动角（$\alpha+\gamma=90°$）以及死点位置。后半部分是凸轮机构重点：凸轮机构的组成与优缺点、按凸轮形状/从动件形式/运动形式/锁合方式的分类，基圆、偏距、行程、推程/回程/近休止/远休止及各运动角等术语，从动件四种常用运动规律（等速、等加速等减速、简谐、摆线）的刚性冲击/柔性冲击判断与适用转速，压力角与基圆半径的权衡，以及用反转法（相对运动法）图解凸轮理论轮廓和实际轮廓。文末附判定表、公式术语表、典型例题、待核对清单和主动回忆题（含答案要点），适合期末复习、做图 3-21 标注和图 3-23 位移计算题。

一、核心结论

• 铰链四杆机构三大基本形式：曲柄摇杆机构、双曲柄机构、双摇杆机构（另有含滑块、导杆等演化形式）。
• 曲柄存在条件（两条同时满足）：①杆长条件（格拉霍夫定理）：最短杆＋最长杆 ≤ 其余两杆长度之和，即 $l_{min}+l_{max}\le l_3+l_4$；②最短杆必须是连架杆或机架。
• 类型判定（满足杆长条件时看最短杆是谁）：最短杆为连架杆→曲柄摇杆（最短杆即曲柄）；最短杆为机架→双曲柄；最短杆为连杆（既非机架也非连架杆）→双摇杆。
• 不满足杆长条件（$l_{min}+l_{max}>$ 其余两杆之和）时，无论以哪根杆为机架，都是双摇杆机构（无曲柄）。
• 急回特性：曲柄摇杆机构中摇杆处于两极限位置时，曲柄对应两位置所夹锐角称极位夹角 θ；θ 使工作行程慢、回程快。行程速比系数：

$$K=\frac{v_{回}}{v_{工}}=\frac{t_{工}}{t_{回}}=\frac{180°+\theta}{180°-\theta},\qquad \theta=180°\frac{K-1}{K+1}$$

• 压力角 α 是从动件受力方向与受力点速度方向所夹锐角，**传动角 γ 是连杆与从动连架杆所夹锐角，$\alpha+\gamma=90°$**；α 越小（γ 越大）传力越好。
• 死点：摇杆主动、曲柄从动时，连杆与曲柄共线（两个位置），γ=0、α=90°，驱动力对曲柄回转中心力矩为零，机构不能启动或会转向不确定；曲柄主动时无死点；可用飞轮惯性或机构错位排列越过死点。
• 凸轮机构由凸轮（主动件）、从动件、机架三部分组成，凸轮与从动件为点接触或线接触（高副）；优点是只要设计合适轮廓就能使从动件实现任意预定运动规律、结构紧凑，缺点是高副易磨损、不宜传大动力、轮廓加工要求高。
• 按凸轮形状分盘形凸轮（最常见、平面凸轮）、移动凸轮（盘形展开、用于门闩闸板）、圆柱凸轮（圆柱面沟槽、空间凸轮、从动件多摆动）。
• 按从动件端部接触形式分尖顶（点接触、易磨）、滚子（线接触、耐磨、应用最广；滚子自转是局部自由度）、平底（平面接触、受力好、宜高速）；按运动形式分直动、摆动；按锁合方式分力锁合（弹簧力/重力）和形锁合（沟槽等几何形状）。
• 基圆：以凸轮回转中心 O 为圆心、O 到理论轮廓最近点距离 $r_0$ 为半径的圆，$r_0$ 是最小向径；偏距 e：O 到从动件导路中心线的垂直距离，以 O 为心、e 为半径的圆为偏距圆，e=0 为对心。
• 行程 h：从动件推程（回程）移动的最大距离，$h=r_{max}-r_0$，是固定几何量；位移 s 是某瞬时从动件移动量，随转角（时间）变化。
• 一个运动循环：推程（推程运动角 δ₁）→远休止（远休止角 δ₂）→回程（回程运动角 δ₃）→近休止（近休止角 δ₄），四角之和为 360°；无休止的凸轮某些角为 0。
• 四种运动规律与冲击：等速——s 为斜直线，起终点速度突变，刚性冲击，低速轻载；等加速等减速——s 为两段抛物线，柔性冲击，中速轻载；简谐（余弦加速度）——柔性冲击，中速中载；摆线（正弦加速度）——既无刚性也无柔性冲击，高速。
• 凸轮压力角 α 是从动件受力方向与速度方向所夹锐角；α 越大有效分力越小、有害分力越大，甚至自锁，设计须使 $\alpha_{max}\le[\alpha]$；同运动规律下基圆半径越小压力角越大，减小压力角要增大基圆半径但机构变大，需权衡。
• 反转法：给整个机构叠加一个与凸轮角速度等大反向（−ω）的公共角速度使凸轮静止，从动件一边随导路绕 O 反转、一边按预定规律相对导路移动，尖顶轨迹即理论轮廓；滚子从动件再以理论轮廓各点为心、滚子半径为半径作圆，取内包络线（向里偏一个滚子半径）得实际轮廓。

二、知识结构

• 铰链四杆机构
  • 三形式：曲柄摇杆 / 双曲柄 / 双摇杆（滑块、导杆演化）
  • 曲柄存在条件：格拉霍夫杆长条件 ＋ 最短杆为连架杆或机架
  • 类型判定：看最短杆是机架/连架杆/连杆；不满足杆长条件恒为双摇杆
  • 急回特性：极位夹角 θ、行程速比系数 K
  • 传力特性：压力角 α、传动角 γ（α+γ=90°）、死点
• 凸轮机构
  • 组成、优缺点（高副点/线接触）
  • 分类：凸轮形状 / 从动件端部 / 运动形式 / 锁合方式
  • 术语：基圆 r₀、偏距 e、行程 h、位移 s、推程回程休止、运动角
  • 四种运动规律：等速 / 等加等减 / 简谐 / 摆线（冲击与转速）
  • 压力角与基圆半径权衡
  • 反转法设计：理论轮廓 →（滚子内包络）实际轮廓
  • 自由度复习：滚子局部自由度、对称重复虚约束

三、详细笔记

3.1 铰链四杆机构的组成与三种基本形式

• 铰链四杆机构由四根杆用转动副（铰链）连接而成：固定不动的一根称机架；与机架相连的两根称连架杆；不与机架直接相连、作平面运动的称连杆。
• 连架杆中能绕机架铰链作整周 360° 转动的叫曲柄，只能在一定角度内往复摆动的叫摇杆。
• 三种基本形式：
  • 曲柄摇杆机构：一个连架杆为曲柄、另一个为摇杆（如雷达天线俯仰、颚式破碎机、缝纫机踏板机构等）；
  • 双曲柄机构：两个连架杆都是曲柄（如机车车轮联动、惯性筛）；
  • 双摇杆机构：两个连架杆都是摇杆（如起重机吊钩、电风扇摇头、某些自卸车举升）。
• 在铰链四杆基础上，把转动副演化成移动副可得到曲柄滑块机构，进一步演化出导杆、定块、摇块机构等。

3.2 曲柄存在条件与机构类型判定（重点）

3.2.1 曲柄存在的两个条件

设四根杆长度分别为 $l_1、l_2、l_3、l_4$，其中 $l_{min}$ 为最短杆、$l_{max}$ 为最长杆。

1. 杆长条件（格拉霍夫定理）：

$$l_{min}+l_{max}\le l_a+l_b$$

其中 $l_a、l_b$ 为另外两根杆的长度。即最短杆与最长杆长度之和不大于其余两杆长度之和。

2. 最短杆位置条件：最短杆必须是机架或连架杆（即最短杆不能是连杆）。

只有两个条件同时满足，机构中才存在曲柄。

3.2.2 类型判定方法

• 第一步：先验算杆长条件。
  • 若 $l_{min}+l_{max}>l_a+l_b$（不满足）：机构中无曲柄，无论以哪根杆为机架都是双摇杆机构。
• 第二步：在满足杆长条件的前提下，看最短杆充当什么角色：

最短杆的角色	机构类型	说明
连架杆	曲柄摇杆机构	最短杆就是曲柄，另一连架杆为摇杆
机架	双曲柄机构	两连架杆均可整周转动
连杆（既非机架也非连架杆）	双摇杆机构	最短杆在对面作连杆

• 记忆口诀：满足杆长条件时——最短杆”坐庄”（机架）双曲柄，最短杆”靠边”（连架杆）一曲柄一摇杆，最短杆”居中”（连杆）双摇杆；不满足杆长条件，一律双摇杆。
• 这也体现了”机架变换（倒置）”思想：同一组四杆，更换机架可得到不同机构。

3.3 急回特性、极位夹角与行程速比系数 K

• 在曲柄摇杆机构中，曲柄整周等速转动，摇杆在两个极限位置之间往复摆动。
• 当摇杆分别处于两个极限位置时，对应曲柄的两个位置之间所夹的锐角称为极位夹角 θ（注意是曲柄两位置的夹角，不是摇杆摆角）。
• 由于 θ 的存在，曲柄转过的角度在工作行程与回程不同：工作行程（切削/受力行程，慢速）曲柄转过 $180°+\theta$，回程（空回，快速）转过 $180°-\theta$。曲柄等速转动，转角大用时多、速度慢，于是回程平均速度大于工作行程平均速度，称为急回特性。
• 行程速比系数（行程速度变化系数）K：

$$K=\frac{\text{回程平均速度}}{\text{工作行程平均速度}}=\frac{t_{工}}{t_{回}}=\frac{180°+\theta}{180°-\theta}$$

• 由 K 反求极位夹角：

$$\theta=180°\cdot\frac{K-1}{K+1}$$

• θ 越大、K 越大，急回越显著；θ=0 时 K=1，无急回。设计牛头刨床、往复式运输机等时常利用急回特性节省空回时间。

3.4 压力角、传动角与死点位置

• 压力角 α：不计摩擦时，从动件上受力点所受作用力方向（沿连杆，因连杆为二力杆）与该点速度方向之间所夹的锐角。
• 传动角 γ：连杆与从动连架杆（摇杆）之间所夹的锐角。由几何关系：

$$\alpha+\gamma=90°$$

• α 越小、γ 越大，沿从动件运动方向的有效分力越大、垂直方向的有害分力越小，传力性能越好、越省力；设计时应使最大压力角不超过许用值（即保证最小传动角不小于许用传动角）。
• 死点（止点）位置：在曲柄摇杆机构中若以摇杆为主动件、曲柄为从动件，当连杆与从动曲柄成一直线（共线）时，传动角 γ=0、压力角 α=90°，连杆作用于曲柄的力通过曲柄回转中心，对该中心的力矩为零，不能驱动曲柄转动，机构处于死点（曲柄与连杆共线一般有两个位置，故有两个死点）。
• 曲柄为主动件时没有死点。死点的克服：在从动轴上装飞轮借惯性冲过死点，或采用两组以上相同机构错位排列（如机车车轮联动）；也有专门利用死点夹紧的装置（如飞机起落架、快速夹具、折叠机构）。

3.5 凸轮机构的组成、特点与分类（一）：按凸轮形状

• 组成：凸轮（具有曲线轮廓、通常作主动件并等速转动或移动）、从动件（推杆/摆杆，被凸轮推动）、机架。
• 工作特点：凸轮与从动件之间是点接触或线接触，属于高副，单位面积压力大、容易磨损，故一般用于传力不大的场合；但只要做出合适的凸轮轮廓，就能让从动件实现任意预期的运动规律，且结构简单、紧凑、设计方便，广泛用于发动机配气、自动机床进给、包装机械、分度机构等。
• 按凸轮形状分三类：
  1. 盘形（盘状）凸轮：绕固定轴线转动、轮廓向径变化的盘形构件，像一个不规则的盘子，是最常见的平面凸轮；
  2. 移动凸轮：可看成盘形凸轮沿圆周展开成的板状凸轮，凸轮作往复直线移动，从动件靠重力或弹簧与轮廓贴合，随凸轮位置变化而升降，常用于门闩、粮仓闸板等；
  3. 圆柱凸轮：在圆柱体端面上或圆柱面上加工出曲线沟槽，从动件（常带滚子）嵌在沟槽中被带动，可实现从动件的移动或摆动；圆柱凸轮属空间凸轮机构。

3.6 凸轮机构分类（二）：从动件形式、运动形式与锁合方式

• 按从动件端部接触形式分：
  • 尖顶（尖底）从动件：端部为一个尖点，与凸轮点接触，结构最简单、能精确实现复杂规律，但接触应力大、极易磨损，多用于仪表或低速轻载；
  • 滚子（滚轮）从动件：端部装一个可自由转动的滚子，与凸轮为线接触，滚动摩擦小、耐磨损，应用最广；滚子绕自身轴的转动不影响其他构件运动，是典型的局部自由度（计算自由度时把滚子与摆杆视为一体）；
  • 平底从动件：端部为一平面，平底与凸轮接触（凸轮有厚度时接触处实为一条线），受力方向恒定、润滑条件好、传力较平稳，宜用于高速，但不能用于凹陷轮廓。
• 按从动件运动形式分：直动从动件（沿导路往复移动）和摆动从动件（绕固定铰链往复摆动，圆柱凸轮常见）。
• 按锁合（封闭）方式——保证从动件始终与凸轮轮廓接触：
  • 力锁合（力封闭）：利用重力或弹簧力把从动件压在凸轮上，如发动机气门用弹簧顶住平底从动件；
  • 形锁合（形封闭/几何锁合）：利用凸轮和从动件的特殊几何形状保证接触，如圆柱凸轮的沟槽、端面凹槽、沟槽凸轮、等宽/等径凸轮、共轭（主回）凸轮等，不需弹簧。

3.7 凸轮机构基本术语与运动角（重点，对照教材图 3-21）

设凸轮以等角速度 ω 绕回转中心 O 转动，从动件（以对心尖顶直动为例）随轮廓变化运动：

• 基圆：以凸轮回转中心 O 为圆心、以 O 到凸轮理论轮廓最近点的距离 $r_0$ 为半径所作的圆；$r_0$ 称基圆半径，它等于凸轮轮廓的最小向径。
• 偏距 e 与偏距圆：直动从动件导路中心线若不通过 O，称偏置从动件，O 到导路中心线的垂直距离称偏距 e；以 O 为圆心、e 为半径所作的圆称偏距圆。导路中心线通过 O 时 e=0，称对心从动件。
• 行程 h：从动件从最近位置到最远位置所移动的最大距离，等于最大向径与最小向径之差：

$$h=r_{max}-r_0$$

行程是不随时间变化的几何量。

• 位移 s：某一瞬时从动件相对最近（初始）位置移动的距离，随凸轮转角 δ（或时间 t）变化，由位移线图 s-δ 给出。注意行程 h 是固定的最大值，位移 s 是随时间变化的瞬时值（类比”路程长度”与”某时刻走到的位置”）。
• 一个循环的四个过程与对应凸轮转角：
  1. 推程（升程）：从动件从最近位置被推到最远位置（向径增大、从动件上升），对应凸轮转角称推程运动角 δ₁（Φ）；
  2. 远休止（远休）：从动件停在最远位置不动（对应轮廓是以 O 为心的圆弧、向径不变），对应远休止角 δ₂（Φₛ）；
  3. 回程（返程）：从动件从最远位置返回最近位置（向径减小、从动件下降），对应回程运动角 δ₃（Φ′），回程移动距离仍为 h；
  4. 近休止（近休）：从动件停在最近位置不动，对应近休止角 δ₄（Φ′ₛ）。
• 一个运动循环内：

$$\delta_1+\delta_2+\delta_3+\delta_4=360°$$

无休止段的凸轮相应休止角为 0（如某些完整圆轮廓例子推程角与回程角各 180°、无休止角）。

3.8 从动件四种常用运动规律（重点：冲击与适用转速）

凸轮轮廓形状决定从动件运动规律，常用四种（位移 s、速度 v、加速度 a 随转角 δ/时间 t 的变化）：

运动规律	位移线 s-δ	速度/加速度特征	冲击类型	适用场合
等速运动（一次多项式）	过原点斜直线，$s=\dfrac{h}{\delta_1}\delta$	v 为常数；行程起、终点速度突变，a 理论趋于无穷大	刚性冲击（硬冲）	低速、轻载、从动件质量小
等加速等减速（二次多项式/抛物线）	两段抛物线（前半加速、后半减速）	a 为两段常数，在起点、中点、终点有限突变	柔性冲击（软冲）	中速、轻载
简谐运动（余弦加速度）	简谐（余弦）曲线	加速度按余弦变化，起终点有限突变	柔性冲击	中速、中载
摆线运动（正弦加速度）	摆线曲线	加速度按正弦变化，v、a 连续无突变	无刚性、无柔性冲击	高速

• 刚性冲击：速度发生突变、加速度理论上无穷大，像手猛敲桌子，冲击强烈；柔性冲击：加速度只发生有限突变，冲击较缓和。
• 记忆主线：等速→刚性冲击→低速；等加等减、简谐→柔性冲击→中速；摆线→无冲击→高速。
• 除冲击外，选择规律还要看**最大速度 $v_{max}$（质量大、速度大则动量大，起停冲击大）和最大加速度 $a_{max}$**（加速度大则惯性力大、引起的动压力和振动大）。
• 等速推程位移公式推导（了解）：等速时 $v=s/t$ 为常数，s-t 为过原点直线；已知行程 h 在推程运动角 δ₁ 内完成，凸轮等角速度 ω，$t_1=\delta_1/\omega$，故 $s=vt=(h/t_1)t=h\delta/\delta_1$。回程为下降过程，形式类似、符号相反。

3.9 凸轮机构压力角与基圆半径的选择（了解）

• 凸轮压力角 α：从动件在接触点所受凸轮作用力方向（轮廓法线方向）与该点从动件速度方向（直动从动件即导路方向）之间所夹锐角。
• 把作用力分解：沿导路方向推动从动件的是有效分力，垂直导路、压向导路的是有害分力（增大导向摩擦和侧压力）。α 越大，有效分力越小、有害分力越大，效率越低，严重时无论力多大都推不动从动件，即发生自锁。
• 设计条件：凸轮轮廓上的最大压力角不得超过许用压力角：

$$\alpha_{max}\le[\alpha]$$

（直动从动件推程许用压力角、摆动从动件许用压力角及回程许用值的具体度数以教材为准，回程因靠弹簧/重力返回、许用值可取得较大。）

• 压力角与基圆半径的关系：在相同行程 h 和运动规律下，基圆半径 $r_0$ 越小，凸轮轮廓越陡、压力角越大；为减小压力角、改善传力和避免自锁，应适当增大基圆半径，但基圆增大又会使整个凸轮和机构尺寸变大。
• 因此设计时要在”传力性能（压力角小）”与”结构紧凑（基圆小）”之间权衡：在满足 $\alpha_{max}\le[\alpha]$ 的前提下尽量取较小的基圆半径。

3.10 反转法（图解法）设计凸轮轮廓（重点理解相对运动）

3.10.1 反转法原理

• 实际运动中凸轮以角速度 ω 绕 O 转动、从动件按预定规律相对导路移动，直接在转动的凸轮上设计轮廓很困难。
• 根据相对运动原理：给整个机构同时叠加一个绕 O、大小与 ω 相等、方向相反（−ω）的公共角速度。这样：
  • 凸轮因 ω＋(−ω)=0 而相对静止（固定不动）；
  • 从动件一方面随其导路以 −ω 绕 O 反转（公转），另一方面仍按预定运动规律相对导路作往复移动。
• 方向口诀：凸轮顺时针转，反转后从动件导路就绕 O 逆时针转；凸轮逆时针转，从动件导路就顺时针转（即逆着凸轮转向反转）。
• 在这一复合运动中，尖顶从动件尖端所走过的轨迹，就是凸轮的理论轮廓。

3.10.2 尖顶直动从动件作图步骤

1. 选比例尺，画出基圆（半径 $r_0$）、偏距圆（偏置时）和从动件导路的初始位置，确定起始尖顶点（在基圆上）；
2. 把推程运动角 δ₁（回程角 δ₃）沿 −ω 方向等分成若干份（如 6 等份），得到各反转位置的导路；
3. 由事先作出的位移线图 s-δ，查出各分点对应的从动件位移 $s_1、s_2、s_3\cdots$；
4. 在每条反转后的导路上，从导路与基圆的交点起，沿导路向外量取相应位移 $s_i$，得到一系列尖顶位置点 $B_1、B_2、B_3\cdots$；
5. 把各点光滑连接，即得凸轮的理论轮廓；其中休止段对应以 O 为圆心的圆弧。

3.10.3 滚子从动件与平底从动件

• 滚子从动件：
  1. 先不计滚子，把滚子中心看作”尖顶”，按上述反转法画出滚子中心的轨迹——理论轮廓；
  2. 再以理论轮廓上的各点为圆心、以滚子半径 $r_r$ 为半径作一系列滚子圆；
  3. 作这些滚子圆的内包络线（即相对理论轮廓向里偏置一个滚子半径 $r_r$ 的等距曲线），就是凸轮的实际（工作）轮廓。
• 平底从动件：同样用反转法确定各反转位置的平底直线，再作这族平底直线的包络线，即得实际轮廓。
• 结论：理论轮廓按尖顶（滚子中心）绘制，实际轮廓是理论轮廓的内等距曲线（向里一个滚子半径）。

3.11 凸轮机构自由度复习：局部自由度与虚约束

• 滚子从动件中，滚子绕自身轴线的自由转动不影响从动件整体和其他构件的运动，属于局部自由度；计算机构自由度时，把滚子与安装滚子的摆杆（推杆）视为焊在一起的一个构件（去除局部自由度）。
• 对对称布置、重复起相同约束作用的部分（如某些沟槽凸轮两侧、对称齿轮/导路），其中重复部分属于虚约束，计算自由度时只算一处、去除虚约束；这与平面机构自由度计算中处理局部自由度、虚约束、复合铰链的方法一致（自由度公式 $F=3n-2P_L-P_H$）。

四、例题、案例或课堂题

4.1 铰链四杆机构类型判定

• 已知四杆长度（单位略）为 a=100、b=120、c=80、d=130，判断以不同杆为机架时的机构类型。
• 解：最短杆 c=80、最长杆 d=130，$c+d=210$，其余两杆 $a+b=220$，因 $210\le220$，满足杆长条件。
  • 以最短杆 c 为连架杆（机架取与 c 相邻的杆）时→曲柄摇杆机构，c 为曲柄；
  • 以最短杆 c 为机架时→双曲柄机构；
  • 以最短杆 c 为连杆（机架取 c 的对杆）时→双摇杆机构。
• 若把 d 改为 160，则 $c+d=240>a+b=220$，不满足杆长条件，无论以哪杆为机架都是双摇杆机构。

4.2 行程速比系数计算

• 已知某曲柄摇杆机构极位夹角 θ=36°，求 K；若要求 K=1.5，θ 应为多少？
• 解：$K=(180+36)/(180-36)=216/144=1.5$；
  反求 $\theta=180(K-1)/(K+1)=180\times0.5/2.5=36°$。

4.3 运动规律与冲击选择

• 问：既无刚性冲击也无柔性冲击、适合高速凸轮的是哪种规律？等速规律为什么只用于低速？
• 答：摆线（正弦加速度）运动规律无冲击、宜高速；等速规律在行程起点和终点速度突变、加速度理论无穷大，产生刚性冲击，故只能用于低速、轻载。

4.4 基圆、偏距、行程标注（图 3-21）

• 问：基圆的圆心和半径如何确定？行程 h 等于什么？
• 答：基圆以凸轮回转中心 O 为圆心、以 O 到理论轮廓最近点距离 $r_0$（最小向径）为半径；行程 h 是从动件最远位置与最近位置之差，$h=r_{max}-r_0$；偏距 e 是 O 到导路中心线的垂直距离。

4.5 反转法作图（图 3-23 位移题思路）

• 求凸轮转过 90°（某分角）时从动件位移 $s_2$：
  • 把导路沿 −ω 方向反转 90° 得该瞬时导路位置；由位移线图查该转角对应位移；在该导路上从基圆交点起量取该位移得尖顶位置；该点到基圆对应点沿导路的长度（或两向径之差）就是 $s_2$。最大行程 h 则取最远、最近两位置沿导路之差。

4.6 课堂选择题回顾

• 凸轮机构最大缺点：高副点/线接触、易磨损（”能实现间歇运动”不是缺点，远/近休止本身就能间歇）。
• 凸轮机构最大优点：只要设计合适轮廓，从动件就能实现任意预期运动规律（这是普通平面连杆机构难以做到的）。
• 滚子从动件中滚子自转属于局部自由度；圆柱凸轮沟槽保证接触属于形锁合，气门弹簧顶紧属于力锁合。

五、术语、公式或关键表达

术语/符号	含义
机架/连架杆/连杆/曲柄/摇杆	四杆机构构件名称；曲柄整周转、摇杆往复摆
格拉霍夫条件	$l_{min}+l_{max}\le$ 其余两杆之和
曲柄存在条件	满足杆长条件 ＋ 最短杆为机架或连架杆
类型判定	最短杆为连架杆→曲柄摇杆；为机架→双曲柄；为连杆→双摇杆；不满足条件→恒为双摇杆
极位夹角 θ	摇杆两极限位置时曲柄两位置所夹锐角
行程速比系数 K	$K=(180°+\theta)/(180°-\theta)$；$\theta=180°(K-1)/(K+1)$
压力角 α / 传动角 γ	力方向与速度方向夹角 / 连杆与从动杆夹角；$\alpha+\gamma=90°$
死点	摇杆主动、连杆与曲柄共线，γ=0、α=90°，力矩为零
凸轮/从动件/机架	凸轮机构三构件；凸轮—从动件为高副（点/线接触）
盘形/移动/圆柱凸轮	平面盘形 / 展开板状 / 圆柱沟槽空间凸轮
尖顶/滚子/平底	点接触易磨 / 线接触最常用（滚子自转局部自由度）/ 平面接触宜高速
力锁合/形锁合	弹簧力重力封闭 / 沟槽等几何形状封闭
基圆 $r_0$	O 为心、O 到理论轮廓最近点距离（最小向径）为半径
偏距 e / 偏距圆	O 到导路中心线垂直距离；以 O 心 e 为半径；e=0 对心
行程 h / 位移 s	最大移动距离 $h=r_{max}-r_0$ / 某瞬时移动量（随 δ 变）
推程/远休止/回程/近休止	δ₁ 升、δ₂ 远休、δ₃ 回、δ₄ 近休；四角和 360°
等速/等加等减/简谐/摆线	刚性冲击低速 / 柔性冲击中速 / 柔性冲击中速中载 / 无冲击高速
压力角条件	$\alpha_{max}\le[\alpha]$；基圆越小压力角越大
反转法	叠加 −ω 使凸轮静止，尖顶轨迹为理论轮廓；滚子内包络为实际轮廓

六、课堂任务与复习安排

• 课后完成教材第 40 页图 3-21 的标注：基圆、偏距（偏距圆）、行程 h、推程、回程、近休止/远休止、推程运动角、回程运动角、休止角等。
• 完成教材图 3-23（3-23 页）活动构件位移计算题（习题 3-5 的第 2、3、4 小题）：用反转法作图求指定转角（如转过 90°）时的位移 $s_2$、最大行程 h 等；教材若缺图可按课堂板图补绘。
• 复习要求：
  1. 会用格拉霍夫条件＋最短杆角色三步判定四杆机构类型；
  2. 熟记 K 与 θ 公式并会互算，能说清急回成因；
  3. 分清压力角、传动角、死点，知道 α+γ=90° 和死点的克服/利用；
  4. 能说出凸轮机构按形状、从动件、运动形式、锁合方式的分类及典型例子；
  5. 准确标注基圆、偏距、行程、推/回程、休止、各运动角；
  6. 背熟四种运动规律的冲击类型和适用转速；
  7. 理解反转法原理，会画尖顶从动件理论轮廓、知道滚子从动件实际轮廓是内包络线。

七、待核对与疑问

问题	原因	建议核对方式
许用压力角 [α] 的具体数值（直动/摆动/回程）	课堂只讲 αmax≤[α]，未给度数	查教材凸轮章设计数据表
运动角符号 δ₁~δ₄ 与 Φ、Φₛ、Φ′、Φ′ₛ	不同教材符号习惯不同	以本班教材图 3-21 标注为准
教材页码（28~29、40 页图 3-21、3-23 页/图 3-23、习题 3-5）	课堂口述页码	以手中教材实际目录页码为准
等速/抛物线/简谐/摆线位移方程完整形式	课堂重点讲冲击与适用场合，公式未全推	复习教材运动规律一节的位移方程
具体机构例子（雷达、起重机、机车联动等）归类	复习课举例较快	对照教材插图确认
滚子半径选择、运动失真与最小基圆半径	本课未展开	后续凸轮设计课/教材

八、复习与主动回忆

复习清单

1. 用 3 分钟复述铰链四杆机构三形式和曲柄存在的两个条件。
2. 用 3 分钟说出”满足/不满足杆长条件＋最短杆角色”的完整判定流程并各举一例。
3. 用 3 分钟写出 K、θ 公式并说明急回成因，会互算。
4. 用 2 分钟说清压力角、传动角关系和死点位置及克服方法。
5. 用 3 分钟说出凸轮按形状、从动件端部、运动形式、锁合方式的分类和例子。
6. 用 4 分钟在草图上标注基圆、偏距圆、行程、推/回程、近/远休止及四个运动角。
7. 用 3 分钟背出四种运动规律的冲击类型与适用转速。
8. 用 4 分钟叙述反转法原理和尖顶、滚子从动件轮廓的画法。

主动回忆题

1. 铰链四杆机构中存在曲柄必须满足哪两个条件？
2. 满足格拉霍夫杆长条件时，怎样根据最短杆的角色判定机构是曲柄摇杆、双曲柄还是双摇杆？不满足杆长条件时是什么机构？
3. 写出行程速比系数 K 与极位夹角 θ 的关系式，并由 K 反求 θ。
4. 压力角 α 和传动角 γ 是什么关系？为什么压力角过大机构会自锁？
5. 什么是死点位置？哪个构件主动时会出现死点？怎样克服或利用死点？
6. 凸轮机构由哪三部分组成？凸轮与从动件是什么接触（高副还是低副）？这种接触带来什么优缺点？
7. 盘形、移动、圆柱凸轮各有什么特点？尖顶、滚子、平底从动件在接触形式、磨损和应用上有何不同？
8. 什么是基圆、偏距、行程、位移？行程 h 与位移 s 有什么区别？推程、远休止、回程、近休止对应的四个角加起来等于多少？
9. 等速、等加速等减速、简谐、摆线四种运动规律各产生什么冲击？分别适用于什么转速场合？
10. 叙述反转法设计凸轮轮廓的原理；滚子从动件的实际轮廓与理论轮廓是什么关系？

答案要点

1. ①杆长条件（格拉霍夫定理）：最短杆与最长杆长度之和不大于其余两杆长度之和，$l_{min}+l_{max}\le l_a+l_b$；②最短杆必须是机架或连架杆。两条同时满足机构中才有曲柄。
2. 满足杆长条件时：最短杆为连架杆→曲柄摇杆机构（最短杆是曲柄）；最短杆为机架→双曲柄机构；最短杆为连杆（既非机架也非连架杆）→双摇杆机构。若不满足杆长条件，则无论以哪根杆为机架都没有曲柄，一律是双摇杆机构。
3. $K=(180°+\theta)/(180°-\theta)$；反求 $\theta=180°(K-1)/(K+1)$。θ 是摇杆两极限位置时曲柄对应两位置所夹锐角，它使工作行程曲柄转角大（慢）、回程转角小（快），形成急回。
4. 压力角 α 是从动件受力方向与速度方向所夹锐角，传动角 γ 是连杆与从动连架杆所夹锐角，二者互余 $\alpha+\gamma=90°$。α 越大，沿运动方向的有效分力越小、垂直导路的有害分力越大，摩擦增大、效率降低，α 大到一定程度有效分力不足以克服阻力即自锁，故要限制 αmax≤[α]。
5. 以摇杆为主动件、曲柄为从动件，当连杆与曲柄共线（两个位置）时，γ=0、α=90°，连杆作用力通过曲柄回转中心、驱动力矩为零，机构不能启动或转向不定，即死点；曲柄主动时无死点。可在从动轴装飞轮借惯性冲过，或用多组机构错位排列；也可利用死点实现夹紧、起落架锁止、折叠定位。
6. 凸轮机构由凸轮（主动件）、从动件、机架三部分组成；凸轮与从动件是点接触或线接触，属于高副。优点是设计合适轮廓即可让从动件实现任意预定运动规律、结构紧凑；缺点是高副接触应力大、易磨损，不宜传大动力，复杂轮廓加工要求较高。
7. 盘形凸轮绕固定轴转动、向径变化，最常见，是平面凸轮；移动凸轮是盘形展开成板状、作直线移动，用于门闩闸板；圆柱凸轮在圆柱面开沟槽、属空间凸轮，从动件常摆动。尖顶从动件点接触、最简单但易磨损，用于低速仪表；滚子从动件线接触、滚动耐磨、应用最广（滚子自转是局部自由度）；平底从动件平面接触、受力平稳润滑好、宜高速但不能用于凹陷轮廓。
8. 基圆是以回转中心 O 为圆心、O 到理论轮廓最近点距离 r₀（最小向径）为半径的圆；偏距 e 是 O 到从动件导路中心线的垂直距离，对应偏距圆，e=0 为对心；行程 h 是从动件从最近到最远位置移动的最大距离，$h=r_{max}-r_0$，是固定几何量；位移 s 是某一瞬时从动件相对初始位置的移动量，随转角（时间）变化。推程、远休止、回程、近休止对应 δ₁、δ₂、δ₃、δ₄，四角之和为 360°。
9. 等速规律在起终点速度突变、有刚性冲击，用于低速轻载；等加速等减速规律加速度有限突变、有柔性冲击，用于中速轻载；简谐（余弦加速度）规律有柔性冲击，用于中速中载；摆线（正弦加速度）规律速度、加速度连续，既无刚性冲击也无柔性冲击，用于高速。
10. 给整个机构叠加一个与凸轮角速度等大反向（−ω）的公共角速度，凸轮相对静止，从动件一边随导路绕 O 反转、一边按预定规律相对导路移动，尖顶在该复合运动中的轨迹就是理论轮廓（作图时把运动角等分、各反转导路上从基圆点量取对应位移得一系列尖顶点，光滑连接）。滚子从动件先以滚子中心为尖顶画出理论轮廓，再以理论轮廓各点为心、滚子半径为半径作滚子圆，取其内包络线（向里偏一个滚子半径的等距曲线）即为实际轮廓。