傅里叶级数与频谱：单边谱与双边谱
《测试技术 / 信号分析》课堂笔记：傅里叶级数 · 频谱（单边谱 / 双边谱）· 傅里叶变换
本文整理自 2026-10-14 下午课堂录音的前半段（约 00:10 — 01:45）。原始录音环境噪声较大，部分口述内容无法准确还原，凡不确定处均在第八部分列出，请以教材为准。
一、这节课讲了什么
这节课的主线只有一句话：如何把一个复杂信号，拆成一堆不同频率的正弦 / 余弦分量，再用「频谱」把它画出来。
| 模块 | 内容 |
|---|---|
| 引入 | 从原始电流波形 → 各频率分量 → 用「窗口」筛选感兴趣的频率 |
| 三角形式傅里叶级数 | $A_0$、$A_n$、$B_n$ 的求法；奇偶性带来的简化 |
| 指数形式傅里叶级数 | 复系数 $C_n$；由它自然导出双边谱 |
| 频谱 | 幅度谱、相位谱；$\lvert C_n\rvert$ 与 $A_n$ 的定量关系 |
| 准周期信号 | 两个周期信号叠加，频率比不是有理数 → 不是周期信号 |
| 非周期信号 | $T \to \infty$ 极限 → 离散谱变连续谱 → 傅里叶变换 |
课堂上的推进顺序是「先三角形式、再指数形式，最后推到非周期」，本文按这个顺序讲。
二、核心结论速览
- 信号分解的物理意义：任何复杂波形都能看成直流 + 一系列不同频率、不同幅值、不同相位的正弦波的叠加。
- 工程上做分解的目的很实际——滤波与选频：用「窗口函数」只让感兴趣的那几个频率通过。
- 周期信号的分解工具是傅里叶级数，前提是该信号在一个周期内满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点、只有有限个极值点、绝对可积）。
- 三角形式：$x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos n\omega_0 t+B_n\sin n\omega_0 t)$，其中 $\omega_0=2\pi/T$ 是基波角频率。
- $A_0$ 是直流分量，等于信号在一个周期内的平均值。
- $A_n$、$B_n$ 由正交性求出，积分区间取一个周期即可（$0\sim T$ 或 $-T/2\sim T/2$ 都行）。
- 奇偶性是第一简化手段：偶函数 → $B_n=0$（只剩余弦）；奇函数 → $A_n=0$ 且 $A_0=0$（只剩正弦）。
- 判断奇偶不要死记公式，画到坐标系里看——这是老师在课上反复强调的「小经验」。
- 三角函数族的正交性是求系数的理论基础：不同频率的 $\sin$、$\cos$ 在一个周期内积分恒为 0。
- 指数形式：$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}$，$n$ 取全部整数（含负）。
- $C_n$ 是复数，因此它同时携带幅值和相位两重信息。
- 三角形式 → 单边谱（$n=0,1,2,\dots$）；指数形式 → 双边谱（$n=0,\pm1,\pm2,\dots$）。
- 两种谱的换算关系：$n\ge1$ 时 $|C_n|=\frac{1}{2}A_n$；$n=0$ 时 $C_0=A_0$。
- 课堂用矩形波验证了上式：$A_n=\frac{2a}{n\pi}$，对应 $|C_n|=\frac{a}{n\pi}$，正好是一半。
- 双边谱是偶对称的：$|C_{-n}|=|C_n|$，正负频率成对出现。
- 相位谱由 $C_n$ 的辐角给出；$n>0$ 与 $n<0$ 的相位反对称。
- 准周期信号：两个（或以上）周期信号叠加，若各频率之比不全是有理数，则叠加结果找不到公共周期，因此不是周期信号。
- 准周期信号仍是离散谱，但谱线位置不成等间隔的谐波关系——这是它与周期信号的根本区别。
- 非周期信号可以看作周期趋于无穷大的周期信号：谱线间隔 $\Delta\omega=\omega_0=2\pi/T\to0$，谱线无限密集 → 离散谱变成连续谱。
- 连续谱不能再用「某根谱线有多高」描述，要改用频谱密度的概念。
- 由此得到傅里叶变换对：正变换 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$，逆变换 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$。
- $X(\omega)$ 是复函数，所以非周期信号的频谱同样有幅度谱密度和相位谱密度两条曲线。
- 周期信号的频谱是离散的、谐波性的；非周期信号的频谱是连续的——这是两类信号最核心的差别。
- 时域与频域是一一对应的：一个域里越宽，另一个域里越窄；做频域分析时务必分清楚横轴是频率还是时间。
三、知识结构树
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四、知识点详解
4.1 从波形到频谱：为什么要做信号分解
课堂从一个实际的电流波形讲起：原始波形看起来杂乱，但展开之后可以看到它是由几个确定频率的分量叠加而成的。
这个思路的工程价值在于：
- 可以对指定频率范围的信号做提取或抑制；
- 用一个「窗口」把不需要的频率挡在外面，只保留感兴趣的成分；
- 这就是滤波器的基本思想——「只允许经过这个窗口的频率，其他频率一律通不过」。
课堂原话大意：这是工程上非常常用的手段，把信号按频率分解，然后选择我们感兴趣的信号。
4.2 三角形式傅里叶级数
表达式
$x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos n\omega_0 t+B_n\sin n\omega_0 t)$
其中 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ 称为基波角频率，$n\omega_0$ 是第 $n$ 次谐波的角频率。
系数公式
$A_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t),dt$
$A_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cos n\omega_0 t,dt$
$B_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\sin n\omega_0 t,dt$
- $A_0$ 是直流分量，物理意义是信号在一个周期内的平均值；
- $A_n$ 是第 $n$ 次余弦分量的幅值；
- $B_n$ 是第 $n$ 次正弦分量的幅值。
积分区间取 $0\sim T$ 或 $-T/2\sim T/2$ 都可以，只要正好是一个周期。
理论基础：三角函数的正交性
$\int_{0}^{T}\cos m\omega_0 t\cos n\omega_0 t,dt=0\quad(m\neq n)$
$\int_{0}^{T}\sin m\omega_0 t\sin n\omega_0 t,dt=0\quad(m\neq n)$
$\int_{0}^{T}\sin m\omega_0 t\cos n\omega_0 t,dt=0\quad(\forall, m,n)$
正是因为不同频率的三角函数在一个周期内「互相抵消」，才能把某一个系数单独「筛」出来。
4.3 奇偶性带来的简化（重点）
这是本节最实用的一条：先看奇偶性，能省掉一半的积分。
| 信号性质 | 满足条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 偶函数 | $x(-t)=x(t)$ | $B_n=0$，只剩余弦项（含 $A_0$） |
| 奇函数 | $x(-t)=-x(t)$ | $A_n=0$ 且 $A_0=0$，只剩正弦项 |
| 一般函数 | 无对称性 | $A_0$、$A_n$、$B_n$ 都要算 |
判断方法（课堂强调的「小经验」）
不要死记公式，把波形画到坐标系里看：
- 波形关于纵轴（$t=0$）左右对称 → 偶函数；
- 波形关于原点中心对称 → 奇函数；
- 都不是 → 老老实实算。
课堂原话大意：只要用我这个图形的方式去理解，分母、分子谁为零基本上都能先判断出来。
补充：半波对称
如果信号满足 $x(t+T/2)=-x(t)$（后半周期是前半周期倒过来），则只含奇次谐波，偶次谐波系数全为 0。方波就属于这一类。
4.4 指数形式傅里叶级数
表达式
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}$
注意这里的求和范围是 $n$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$，也就是说包含了负频率。
复系数
$C_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_0 t},dt$
- $C_n$ 是复数，因此可以写成 $C_n=|C_n|e^{j\varphi_n}$，其中 $\lvert C_n\rvert$ 是幅值，$\varphi_n$ 是相位；
- 复系数 $C_n$ 与三角形式的系数之间存在确定的换算关系（见 4.5）。
为什么要用指数形式
- 表达式更紧凑，只有一个系数 $C_n$；
- 直接对应双边谱，物理上正、负频率成对出现；
- 是通向傅里叶变换的自然跳板（把求和换成积分）。
4.5 单边谱与双边谱
| 对比项 | 三角形式 | 指数形式 |
|---|---|---|
| 谱的类型 | 单边谱 | 双边谱 |
| $n$ 的取值范围 | $0,1,2,3,\dots$ | $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$ |
| 系数 | $A_0$、$A_n$、$B_n$ | $C_n$（复数） |
| 谱线位置 | 只有正频率 | 正、负频率成对出现 |
换算关系（本节最关键的一组公式）
$C_0=A_0$
$|C_n|=\frac{1}{2}A_n\quad(n\ge1)$
也就是说，双边谱的每根谱线高度，正好是单边谱的一半——因为双边谱把同一个幅值「劈」给了正、负两个频率。
课堂的矩形波验证
以幅值为 $a$ 的矩形波为例，算出：
$A_n=\frac{2a}{n\pi}$
那么按换算关系：
$|C_n|=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a}{n\pi}=\frac{a}{n\pi}$
课堂上把两条谱逐根对照，确认每根谱线都正好是一半，从而验证了上面这个结论。
幅度谱与相位谱
- 幅度谱：双边幅度谱关于纵轴偶对称，即 $|C_{-n}|=|C_n|$；
- 相位谱：双边相位谱关于原点奇对称，正负频率的相位差一个负号。
4.6 准周期信号
定义：由两个或两个以上的周期信号叠加而成。
判别准则：设两个分量的频率为 $f_1$、$f_2$，令 $f_1/f_2$：
- 若比值是有理数 → 存在公共周期，叠加结果仍是周期信号；
- 若比值是无理数 → 找不到公共周期，叠加结果不是周期信号。
课堂举例
三个叠加信号中，只有第 2 个的频率比是有理数（比值为 1 : 6），其余两个都是无理数比。因此只有第 2 个是真正的周期信号，另外两个属于准周期信号。
频谱特征
- 准周期信号仍然是离散谱；
- 但谱线不成等间隔的谐波关系（各分量频率之间没有整数倍关系）；
- 所以它介于「周期」与「非周期」之间——谱离散，但非周期。
4.7 从周期到非周期：傅里叶变换
思路：把周期推向无穷大
周期信号的谱线间隔为：
$\Delta\omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T}$
当 $T\to\infty$ 时，$\Delta\omega\to0$——谱线越来越密，最后连成一片。
同时，求和式 $\sum$ 在极限下变成积分 $\int$：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}\quad\longrightarrow\quad\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t},d\omega$
傅里叶变换对
$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t},dt$
$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t},d\omega$
- $X(\omega)$ 称为信号的频谱密度函数（也叫频谱函数）；
- 它是复函数：$X(\omega)=|X(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$。
关键理解
| 周期信号 | 非周期信号 | |
|---|---|---|
| 频谱 | 离散谱线 | 连续曲线 |
| 描述量 | 谱线幅值 $A_n$ / $\lvert C_n\rvert$ | 频谱密度 $\lvert X(\omega)\rvert$ |
| 量纲 | 与信号同量纲 | 信号量纲 × 时间（因为是「密度」） |
课堂上特别提醒：非周期信号不能再说「某个频率上的幅值是多少」，因为它是在单位频率上的密度——严格来说两者在概念上有区别，只是习惯上都叫「频谱」。
收敛条件
傅里叶变换存在的充分条件通常表述为绝对可积：
$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|,dt<\infty$
这是比狄利克雷条件更严格的数学条件；工程上大多数实际信号都满足。
4.8 时域与频域的对应关系
课堂最后把正变换和逆变换摆在一起对照，强调一个容易混的点：
| 式子 | 积分变量 | 结果域 |
|---|---|---|
| 正变换 $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ | 对时间积分 | 得到频率的函数 |
| 逆变换 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$ | 对频率积分 | 得到时间的函数 |
- 正变换：对时间积分 → 得到频率的函数；
- 逆变换：对频率积分 → 得到时间的函数；
- 两个式子的指数符号相反（一个 $-j\omega t$，一个 $+j\omega t$）。
课堂原话大意：一定要清楚你是在讲频率还是时间，横轴代表什么要说明白。
由此引出的一般规律
- 时域越「窄」（脉冲越短）→ 频域越「宽」；
- 时域越「宽」（变化越慢）→ 频域越「窄」；
- 这就是时宽与带宽成反比，是后续采样定理、测不准关系的根源。
五、例题与解题方法汇总
题型 1：求周期信号的傅里叶级数系数
步骤
- 写出周期 $T$，算出 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$；
- 先判断奇偶性，确定哪些系数可以直接判零；
- 对剩下的系数套积分公式，积分区间取一个周期；
- 写出级数表达式。
要点：先判奇偶能省掉大量计算，是考场上的第一反应。
题型 2：由三角形式系数写双边谱
步骤
- $C_0=A_0$；
- $|C_n|=\frac{1}{2}A_n$（$n\ge1$）；
- 按偶对称补出 $n<0$ 的部分：$|C_{-n}|=|C_n|$；
- 相位按奇对称补出。
要点：双边谱每根线是单边谱的一半，别忘了一分为二。
题型 3：判断叠加信号是否为周期信号
步骤
- 求出各分量的频率 $f_1,f_2,\dots$；
- 两两求比值，化为最简分数；
- 全部为有理数 → 周期信号；出现无理数 → 准周期信号（非周期）。
题型 4：判断信号的对称性并简化
| 观察到的特征 | 结论 |
|---|---|
| 关于纵轴对称 | 偶函数，$B_n=0$ |
| 关于原点对称 | 奇函数，$A_n=0$，$A_0=0$ |
| 后半周期是前半周期的倒像 | 只含奇次谐波 |
| 无对称性 | 全部系数都要算 |
六、术语速查表
| 术语 | 含义 |
|---|---|
| 基波 / 基频 | $n=1$ 对应的分量，角频率 $\omega_0=2\pi/T$ |
| 谐波 | $n\ge2$ 的分量，频率是基频的整数倍 |
| 直流分量 | $A_0$，信号在一个周期内的平均值 |
| 三角形式 | 用 $\cos$、$\sin$ 展开的傅里叶级数 |
| 指数形式 | 用 $e^{jn\omega_0 t}$ 展开的傅里叶级数 |
| 单边谱 | 三角形式对应的谱，$n$ 只取非负 |
| 双边谱 | 指数形式对应的谱，$n$ 取全部整数 |
| 幅度谱 | 各频率分量的幅值随频率的分布 |
| 相位谱 | 各频率分量的初相随频率的分布 |
| 正交性 | 不同频率三角函数在一个周期内积分为 0 |
| 偶函数 | $x(-t)=x(t)$，只含余弦 |
| 奇函数 | $x(-t)=-x(t)$，只含正弦 |
| 准周期信号 | 多个周期信号叠加、频率比含无理数，非周期但谱离散 |
| 频谱密度 | 非周期信号的频谱，连续且带「密度」量纲 |
| 傅里叶变换 | 非周期信号从时域到频域的变换 |
| 狄利克雷条件 | 傅里叶级数收敛的充分条件 |
| 绝对可积 | $\int\lvert x(t)\rvert,dt<\infty$，傅里叶变换存在的充分条件 |
| 窗口函数 | 用于选频，只让指定频率通过 |
七、课堂强调与复习重点
- 先看奇偶性再算积分——这是老师反复强调的第一反应。
- 判断奇偶靠画图，不要背公式。
- $|C_n|=\frac{1}{2}A_n$ 必须记牢，课堂上专门用矩形波逐根谱线验证过。
- 分清单边谱与双边谱：一个 $n\ge0$，一个 $n\in\mathbb{Z}$。
- 准周期信号的关键是频率比是否有理数。
- 非周期信号是周期信号的极限，这条思路贯穿整章。
- 时域与频域的横轴千万别搞混——正变换对时间积分、逆变换对频率积分。
- 积分区间取一个周期即可，取 $0\sim T$ 最省事。
八、【以教材为准】待核对清单
本节录音质量较差，以下内容无法从录音中准确还原，请对照教材确认后再采信：
- 矩形波例子的幅值符号：课堂上口述的波形幅值记为 $a$，$A_n=\frac{2a}{n\pi}$。教材中若用 $A$ 或 $E$ 表示幅值，请按教材符号替换。
- 准周期信号举例的三个频率值：录音中只能听出「比值 1:6 是有理数、另外两个是无理数」，具体频率数值未能还原。
- 相位谱的具体表达式：录音中只讲清了「正负频率相位反对称」，$\varphi_n=\arctan(-B_n/A_n)$ 这一形式是我按通识补的。
- 半波对称的表述：录音中未明确出现「半波对称」一词，$x(t+T/2)=-x(t)$ 的结论是按教材通识补充的。
- 收敛条件的严格表述：录音中提到「绝对可积」但语焉不详，具体表述请以教材为准。
- 「窗口函数」的定义范围：课堂上把滤波器与窗口放在一起讲，教材中若将二者分开定义，请以教材为准。
九、复习自测
傅里叶级数三角形式的表达式是什么？$\omega_0$ 与 $T$ 是什么关系？
$A_0$ 的物理意义是什么？为什么说它是「直流分量」？
写出 $A_n$、$B_n$ 的积分公式。
偶函数的傅里叶级数中哪些项一定为零？为什么？
奇函数的傅里叶级数中哪些项一定为零？$A_0$ 呢？
课堂上推荐的「判断奇偶性」的方法是什么？
三角函数正交性在求傅里叶系数中起什么作用？
指数形式傅里叶级数的求和范围是什么？为什么包含负频率？
$C_n$ 为什么是复数？它携带哪两重信息？
单边谱和双边谱分别对应哪种展开形式？
写出 $\lvert C_n\rvert$ 与 $A_n$ 的换算关系，并说明 $n=0$ 时的情况。
课堂用哪个信号验证了第 11 题的结论？验证结果是什么？
双边幅度谱具有什么对称性？相位谱呢？
什么是准周期信号？如何判断一个叠加信号是不是周期信号？
准周期信号的频谱是离散的还是连续的？它与周期信号的谱有何区别？
非周期信号是如何从周期信号「取极限」得到的？极限过程中谱线间隔如何变化？
写出傅里叶变换对的两个式子，并说明各自是对哪个变量积分。
非周期信号的频谱为什么要叫「频谱密度」？它和周期信号的谱线幅值在概念上有什么区别？
傅里叶变换存在的充分条件是什么？
时宽与带宽之间是什么关系？举一个直观的例子说明。
滤波器与「窗口函数」在思路上有什么共同点？
如果横轴标错（把时间当频率），会导致什么后果？
十、复习自测参考答案
建议先自己做完第九部分，再对照这里。带「★」的是本题的重点。
1. $x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos n\omega_0 t+B_n\sin n\omega_0 t)$；$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$，称为基波角频率。
2. $A_0$ 是信号在一个周期内的平均值。因为恒定不变的成分就是直流，而「平均值」恰好剔除了所有交变分量（正弦、余弦在一个周期内积分为 0），剩下的只有直流部分，所以叫直流分量。
3. $A_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cos n\omega_0 t,dt$；$B_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\sin n\omega_0 t,dt$。
4. ★ $B_n$ 全为 0（只剩余弦项和 $A_0$）。因为偶函数乘以奇函数（$\sin$ 是奇函数）后变为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为 0，所以 $B_n=0$。
5. ★ **$A_n$ 全为 0，且 $A_0=0$**（只剩正弦项）。$A_0$ 为零是因为奇函数在一个周期上的积分为 0。
6. 把波形画到坐标系里看：关于纵轴对称 → 偶函数；关于原点中心对称 → 奇函数。不要死记公式。
7. 正交性使得不同频率的三角函数在一个周期内积分互相抵消。正因为「其他所有项都积成 0，只有要算的那一项不为 0」，才能把某一个系数单独「筛」出来。
8. 求和范围是 $n$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$（全部整数，含负）。包含负频率是因为指数形式用的是 $e^{jn\omega_0 t}$——由欧拉公式，正、负两个指数项合起来才能还原实信号中的 $\cos$、$\sin$。负频率本身没有物理意义，只是数学上的成对项。
9. 因为 $C_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_0 t},dt$，被积函数含复指数，积分结果是复数。它携带幅值（$|C_n|$）和相位（$\varphi_n$）两重信息。
10. 三角形式 → 单边谱（$n=0,1,2,\dots$）；指数形式 → 双边谱（$n=0,\pm1,\pm2,\dots$）。
11. ★ $|C_n|=\frac{1}{2}A_n$（$n\ge1$）；**$n=0$ 时 $C_0=A_0$，不是一半**。
12. 用矩形波验证。算出 $A_n=\frac{2a}{n\pi}$，对应 $|C_n|=\frac{a}{n\pi}$，正好是单边谱的一半，课堂上逐根谱线对照确认。
13. 双边幅度谱偶对称：$|C_{-n}|=|C_n|$。双边相位谱奇对称：正负频率的相位差一个负号。
14. ★ 准周期信号是由两个或以上周期信号叠加而成、但没有公共周期的信号。判断方法：把各分量的频率两两求比值并化为最简分数——全部为有理数 → 周期信号；出现无理数 → 准周期信号（非周期）。
15. 准周期信号的频谱是离散的，但不是等间隔的谐波关系。区别：周期信号的谱线位于 $n\omega_0$，是等间隔谐波；准周期信号的谱线位置之间没有整数倍关系，离散但不成谐波。
16. ★ 把周期 $T$ 推向无穷大。此时谱线间隔 $\Delta\omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T}\to0$，谱线无限密集，求和 $\sum$ 变成积分 $\int$，离散谱变成连续谱。
17. 正变换 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t},dt$，对时间 $t$ 积分，得到频率的函数；逆变换 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t},d\omega$，对频率 $\omega$ 积分，得到时间的函数。
18. ★ 因为非周期信号的频谱是连续的，谱线之间没有间隙，不能再用「某根谱线有多高」来描述，只能描述「单位频率上的幅值」，所以叫密度。概念区别：周期信号的谱线幅值与信号同量纲；频谱密度是信号量纲 × 时间，因为它表示单位频率宽度内的含量。
19. 通常表述为绝对可积：$\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x(t)\rvert,dt<\infty$。
20. 时宽与带宽成反比——一个域里越窄，另一个域里越宽。直观例子：一个极窄的冲激（时宽趋于 0），其频谱是无限宽的平坦谱；反过来，一个恒定不变的直流（时宽无穷），频谱是一根谱线（带宽趋于 0）。
21. 两者都是「只让感兴趣的频率通过」：滤波器在频域上划出一个通带，通带外的频率被衰减；窗口函数在时域上截取一段信号，等效于在频域上用窗口去「框选」谱线。课堂上把二者放在一起讲，讲的正是选频这一个共同目的。
22. 会把结论彻底搞反。因为时域和频域的规律相反（时宽与带宽成反比、积分变量不同），横轴标错会导致对「宽 / 窄」「快 / 慢」的判断全部颠倒，别人也无法理解你在讲哪个域。所以课堂上特别强调：横轴代表什么必须说清楚。