逐点比较法插补原理：直线与圆弧偏差判别
《数控加工工艺与编程》课堂笔记：加工中心程序单与自动编程 + 逐点比较法插补原理（直线/圆弧偏差判别式推导与例题）
本篇为《数控加工工艺与编程》课堂讲解整理，接上一讲（槽类零件铣削编程、刀具半径补偿、对刀、加工中心换刀与孔加工工艺）继续。
全篇分三块：
- 加工中心综合零件程序单解读（收尾）——备刀与换刀、工艺路线复习、加工余量与毛坯高度、切削用量小规律、点位计算技巧、孔加工循环与子程序；
- 自动编程简介——三维建模 → CAM 规划 → 仿真 → 生成程序 → 机床试切的完整链路，以及它与手工编程的关系；
- 插补原理（本讲重点，约占总时长六成）——为什么需要插补、插补方法的分类，然后重点推导 逐点比较法 的直线插补与圆弧插补：偏差判别式怎么来的、进给方向怎么定、偏差迭代公式怎么推、终点怎么判，并完整演算两道例题。
文中公式统一用 $…$ 书写；课堂口述与教材符号不一致，均标注【以教材为准】。
一、这节课讲了什么
这节课是本课程「编程」部分的收尾与「原理」部分的开启，可以概括为一句话：先把上一讲的加工中心综合零件程序单讲完，再花大力气讲清”机床为什么能走出斜线和圆弧”——也就是插补。
第一块（约 10:30–31:00）——加工中心综合零件程序单解读。
老师接着上一讲的零件，逐段过了一遍程序单：T05 是提前把 5 号刀转到换刀位（备刀），为的是省掉刀库轮转的等待时间；工艺路线仍是”先面后孔、粗铣到精铣、粗镗到半精镗到精镗”；程序单里的”平面预留加工余量 0.5、背吃刀量 AP = 3.5”要结合毛坯高度才能读懂；点位计算要善用零件的对称性，极限位置不能取到极限；程序很长时要用子程序，否则版面会写到五页以上。
第二块（约 31:00–41:00）——自动编程简介。
从三维建模开始，导入 CAM 软件自动规划刀路、选刀与切削用量，仿真预览后生成程序，再传到机床试切。老师强调：自动编程缩短的是工作量，不是替代工艺判断——软件推荐的工艺不一定适配你手上的设备，手工编程的分析能力仍然是底线。
第三块（约 41:00–1:41:00）——插补原理（重点）。
机床的每个坐标轴只会走直线，那斜线和圆弧是怎么走出来的？答案是用极小的折线一步一步逼近——这就是插补。老师用”定积分用小矩形面积求和”来类比，非常好懂。接着讲插补方法的分类（脉冲增量法 vs 数据采样法），然后重点推导逐点比较法：
- 直线插补：偏差函数 $F = X_e Y - Y_e X$，$F \ge 0$ 往 $+X$ 走、$F < 0$ 往 $+Y$ 走；迭代公式 $F’ = F - Y_e$ 与 $F’ = F + X_e$；
- 圆弧插补：偏差函数 $F = X^2 + Y^2 - R^2$，圆外往圆心靠、圆内往外补，顺圆与逆圆方向相反；
- 终点判别：直线用 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$，圆弧用 $\lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$，走一步减一，减到零结束。
最后完整演算了直线 $(0,0) \to (4,3)$ 与逆圆弧 $(4,0) \to (0,4)$ 两道例题。
二、核心结论速览
- 备刀 ≠ 换刀。程序里的
T05是”提前把 5 号刀转到换刀位”，属于选刀/备刀；真正的换刀是T__ M06。提前备刀可以省掉刀库轮转的等待时间。 - 工艺路线总纲：先面后孔；粗铣 → 精铣；粗镗 → 半精镗 → 精镗。先加工面再加工孔，否则孔会因材料变形而超差。
- **精度要求高的孔才要”半精 + 精”**。Φ60 这类大孔精度要求高，所以要粗镗、半精镗、精镗三道；一般孔用粗镗即可。
- 毛坯不能等于零件尺寸。零件高度 15 mm，毛坯必须留加工余量——直接拿 15 mm 切一刀 1 mm 就变成 14 mm，零件就废了。
- 加工余量是”留给后道工序”的。程序单里”平面预留加工余量 0.5”是留给精加工的；镗孔尺寸逐步逼近（粗镗 → 半精镗 → 精镗）。
- 切削用量小规律：粗加工 → 半精加工 → 精加工，转速逐级提高、进给量逐级降低。可用它快速自查自己定的切削用量是否合理。
- 点位计算善用对称性：零件两侧对称时，算出一半，另一半关于对称轴直接镜像得出，能省大量计算。
- 极限位置不要取到极限：例如理论极限是 55，取 45 稳妥可行，取 40 就会切不到（要绕到外面才能切到）。
- 安全距离一般留 2～3 mm，多一点留 5 mm；留太大会使空行程变长、效率下降。
- 终点坐标的来源要清楚：例如终点的 X 应取 75 而不是 135，必须能解释清楚为什么。
- 程序长要用子程序。加工中心一次装夹可完成多道工序、用多把刀，程序段极多；用主程序调用子程序（
M98 P__调用、M99返回）才能控制版面。 - 自动编程的链路：零件图样分析 → 建三维模型 → 导入 CAM 软件 → 自动规划刀路/选刀/切削用量 → 仿真预览 → 生成加工程序 → 传到机床试切。
- 常用 CAM 软件：UG、Pro/E、CATIA、Mastercam；SolidWorks 偏机械设计，CAM 加工能力较弱。
- 自动编程只缩短工作量，不替代工艺判断。软件推荐的工艺不一定适合你的设备与刀具，必须人工校验——就像用 AI 生成的答案，你得有能力分辨对错。
- 手工编程是基础：形状简单、程序段少的零件仍用手工编程；不懂手工编程的分析，就无法判断自动编程结果是否合理。
- 插补的必要性：机床各坐标轴只能走直线，斜线与圆弧必须用一系列极小步距的折线去逼近。
- 插补的定义：根据有限的信息（直线的起点与终点、圆弧的起点/终点/圆心等），用一定算法在已知点之间算出若干中间点，控制刀具沿中间点运动，从而拟合出所需轮廓——这个过程叫数据密化。
- 插补是数控系统的核心。插补运算的精度影响系统精度，插补运算的速度影响进给速度。
- **脉冲当量决定”看不看得出锯齿”**。脉冲当量小到 0.01 mm 时，宏观上看不出折线；脉冲当量大（如 1 mm）就会明显呈锯齿状。
- 插补方法分两大类：脉冲增量法（行程标量，逐点比较法、数字积分法 DDA、直接函数法、比较积分法）与数据采样法（时间标量）。
- 脉冲增量法的特点：每次插补结束只向各坐标轴输出一个脉冲；算法简单、只用加减法、易于硬件实现；但各轴不能联动、精度较低，多用于开环（步进电机驱动）的经济型数控系统。
- 逐点比较法的四个节拍：①偏差判别 → ②坐标进给 → ③偏差计算 → ④终点判别；未到终点就返回第 ① 步循环。
- 逐点比较法每次只走一个方向：X 走一步、判断一下，再 Y 走一步、判断一下，X 与 Y 不能同时动——这正是它精度不如联动插补的原因。
- 直线插补偏差函数 $F = X_e Y - Y_e X$：$F = 0$ 点在直线上，$F > 0$ 点在直线上方，$F < 0$ 点在直线下方。
- 直线插补进给与迭代：$F \ge 0$ 沿 $+X$ 走一步、$F’ = F - Y_e$；$F < 0$ 沿 $+Y$ 走一步、$F’ = F + X_e$。只有加减法，没有乘除。
- 直线终点判别：计数器初值取 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$（即两方向总步数），每走一步减一，减到零即到达终点。
- 圆弧插补偏差函数 $F = X^2 + Y^2 - R^2$：$F = 0$ 在圆上，$F > 0$ 在圆外，$F < 0$ 在圆内。
- 圆弧进给方向的选择原则：在”能回到圆上”的两个候选方向里，选更靠近终点的那个。
- 逆圆（逆时针）第一象限：$F \ge 0$ 沿 $-X$ 进给、$F’ = F - 2X + 1$；$F < 0$ 沿 $+Y$ 进给、$F’ = F + 2Y + 1$。
- 顺圆（顺时针）第一象限：$F \ge 0$ 沿 $-Y$ 进给、$F’ = F - 2Y + 1$；$F < 0$ 沿 $+X$ 进给、$F’ = F + 2X + 1$。
- 圆弧终点判别：计数器初值取 $\lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$（终点坐标与起点坐标之差的绝对值之和）。
- 公式别死记。老师反复强调：只要理解”偏差函数的正负对应点在轮廓的哪一侧”以及”往哪边走更接近终点”，公式忘了也能现场推出来。
三、知识结构树
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四、知识点详解
4.1 加工中心综合零件程序单解读（续上节）
4.1.1 备刀（选刀）与换刀
程序段里先出现 T05、后面才出现换刀指令，这是提前备刀：
- 机床刀库是一个可以轮转的圆盘，刀具装在各自的刀位里；
- 提前把下一把要用的刀（这里是 5 号刀）轮转到换刀位，等到真正要用时直接抓取，不必再等刀库慢慢转，从而节省辅助时间；
- 真正执行换刀的是换刀指令（加工中心通常为
M06），选刀与换刀是两件事，极易混淆。
结论：看到程序里单独的
T__，先想”这是备刀”，再找后面的换刀指令。
4.1.2 工艺路线复习
老师明确说这部分上一讲已经详细分析过，这里只”迅速过一下”，但要点必须记牢：
| 要点 | 说明 |
|---|---|
| 先面后孔 | 先加工平面，再加工孔；顺序反了孔会因材料变形而超差 |
| 粗铣 → 精铣 | 铣削按粗、精两道走 |
| 粗镗 → 半精镗 → 精镗 | 精度要求高的孔要三道 |
为什么有的孔只要粗镗、有的孔要粗镗加半精镗加精镗？看精度要求。像 Φ60 这类大孔精度要求高，所以必须”粗镗 → 半精镗 → 精镗”逐步逼近。
4.1.3 加工余量与毛坯高度
这是程序单里最容易被忽略、也最容易被问到的概念。
- 零件图上标注的高度是 15 mm；
- 但毛坯不能直接取 15 mm——直接拿 15 mm 的料，切一刀下去 1 mm 就只剩 14 mm，不满足零件要求；
- 所以毛坯必须比零件高出一段，这段就是加工余量；
- 程序单里写的”平面预留加工余量 0.5“，意思是这一道工序给后续（精加工）留了 0.5 mm；
- 同理，镗孔也要逐级留量：粗镗的孔径小于半精镗，半精镗又小于精镗，尺寸逐步逼近。
一句话：余量是”留给下一道工序”的，不是浪费，也不是误差。
4.1.4 切削用量小规律
课堂上给了一个可以快速自查的经验规律：
粗加工 → 半精加工 → 精加工：转速逐级提高，进给量逐级降低。
也就是说：
- 粗铣的转速最低、每齿进给最大；
- 精铣的转速最高、进给最小；
- 粗镗 / 半精镗 / 精镗同理。
老师特别说明：目前还没教大家怎么查切削用量手册、怎么确定进给速度与主轴转速，但制定完切削用量后，可以用这条小规律迅速扫一眼，判断自己定的有没有明显问题。
4.1.5 点位计算技巧
这是程序单解读里最”实”的一部分。
（1）善用对称性。 零件两侧对称时，只需算出其中一半的关键点坐标，另一半关于对称轴（如 X 轴）直接镜像得到，能大幅减少计算量。老师的原话是”你不要把上面的计算完，下面的直接关于 X 轴对称就能对称到相对应的点位”。
（2）极限位置不要取到极限。 例如某处的理论极限是 55：
- 取 55 正好卡在极限，风险大；
- 往下靠一点取 45，是稳妥可行的；
- 但取 40 就不行——靠得太下面，刀具要绕到轮廓外面、多走一段角度才能切到。
（3）安全距离。 起刀点与工件之间要留安全距离，一般留 2～3 mm，条件允许留 5 mm；但留得越大，空行程越长，效率越低，所以要”在保证安全的前提下尽可能靠近”。
（4）终点坐标的来源要讲得清。 例如某处终点的 X 坐标应取 75 而不是 135，必须能说明为什么——这类”为什么是这个数”的问题，正是考试与审图时容易被追问的点。
4.1.6 孔加工循环与子程序
- 本例中 Φ60 孔精度要求高，采用 G85（精镗循环）比较合适；老师也提到”其实用 G81 也可以”，具体按教材与机床系统选。
- 加工中心的程序段极多：铣面、钻孔、攻螺纹、倒角……至少要写五个版面，这还是调用子程序之后的结果；如果不调用子程序会更长。
- 因此长程序必须用子程序组织：主程序负责调用与流程控制，子程序负责具体工步（
M98 P__调用、M99返回）。 - 老师也说明：考试不会给这么长的程序，重点是掌握组织思路。
4.2 自动编程简介
4.2.1 手工编程与自动编程的分工
| 环节 | 手工编程 | 自动编程 |
|---|---|---|
| 零件图样分析（哪些面要加工） | 必须自己做 | 仍然要自己做（软件不替你判断） |
| 确定工艺过程（粗到精的安排） | 必须自己做 | 自己做，软件会推荐参数 |
| 数值计算（基点、节点坐标） | 必须自己算 | 软件自动完成，你只需校验 |
| 编写程序单 | 必须自己写 | 软件生成 |
| 传输与试切 | 手工输入 | U 盘等介质传到机床，再试切 |
一句话：自动编程省掉的是”数值计算 + 编写程序单”这一段工作量，零件分析与工艺判断仍然要靠人。
4.2.2 常用软件
- SolidWorks：偏机械整机设计用途，三维建模强，但面向刀具加工的能力较弱，所以本课程不提供它的自动编程环节；
- UG：比较适配产线加工与模具设计；
- Pro/E、CATIA（课堂上口述为”卡地亚”）：也可以做；
- Mastercam：专门的 CAM 软件，加工规划是强项。
不同的三维软件各有侧重，选哪个要看用途。
4.2.3 自动编程的完整流程
- 分析零件图样：哪些面要加工、哪些不要加工；
- 建立三维模型：通常按图纸先建模（也可直接导入已有三维模型）；
- 导入 CAM 软件：模型导进去；
- 自动规划：软件自动安排怎么走刀、用什么刀、切多少（切削用量会给推荐值）；
- 仿真预览：先看加工仿真，确认刀路合理；
- 生成加工程序：后置处理输出机床能识别的程序；
- 传到机床试切：用 U 盘等介质传到设备，试切验证。
4.2.4 局限与底线
老师反复强调三点：
- 软件推荐的工艺是它认为最好的，但不一定是你手上设备能做出来的——例如软件推荐用”车铣复合加工中心”，而你的设备根本没有这台机床，那就做不了；
- 所以必须自己懂一点工艺，能对软件的结果做调整；
- 手工编程能力是底线：不懂手工编程的分析，就无法判断自动编程结果是否合理。就像现在用 AI 一样——可以用，但你要能分辨它给你的答案对不对。
老师原话的大意：自动编程”只是缩短我们的工作量，不代表说任何没有基础的、连零件图都看不懂的人都能用”。
4.3 插补的概念与必要性
4.3.1 问题：机床只会走直线
数控机床的每个坐标轴只能沿自己的方向做直线运动。可是零件轮廓大多是斜线、圆弧，那这些轮廓是怎么走出来的？
答案：用一系列极小的折线去逼近。 刀具不是”顺滑地”沿斜线走过去的，而是”左、右、左”一格一格地挪——X 动一下、判断一下，Y 动一下、判断一下，反复进行，最终逼近出理想轮廓。
4.3.2 类比：定积分
老师用定积分做类比，非常直观：
- 求曲线下的面积时，是用若干个小矩形的面积之和去逼近；
- 当小矩形足够窄时，这个”阶梯状”的和就非常接近真实面积；
- 插补同理：当每次进给的步距（脉冲当量）足够小时，宏观上看上去就是一条直线或圆弧。
**脉冲当量决定”看不看得出锯齿”**：
- 经济型数控机床的脉冲当量一般在 0.01 mm 量级，所以走出来的轮廓肉眼看、甚至用手摸都感觉不出折线；
- 如果设备粗糙，一步走 1 mm，那走出来就是明显的锯齿状。
4.3.3 插补的定义
插补：根据给定的有限信息（例如 G01 直线段的起点与终点、G02/G03 圆弧的起点、终点、圆心与半径等），用一定的算法，在这些已知点之间计算出一系列中间点，控制刀具（或工件）沿这些中间点运动，从而拟合出所需的轮廓。
这个”在已知点之间补出中间点”的过程，也叫数据密化。
4.3.4 插补对数控系统的意义
- 每个中间点都要花时间计算，插补运算的速度直接影响数控系统的进给速度；
- 插补运算的精度直接影响整个数控系统的精度；
- 因此老师说：插补是数控系统的核心——同样是”左右挪动”，能不能走出一条理想的直线/圆弧，就是数控系统的竞争力所在。
4.4 插补方法的分类
| 大类 | 别名 | 代表方法 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 脉冲增量法 | 行程标量插补 | 逐点比较法、数字积分法（DDA）、直接函数法、比较积分法 | 每次插补结束只向各坐标轴输出一个脉冲 |
| 数据采样法 | 时间标量插补 | 按采样周期计算出插补点 | 按时间分割，逐点输出 |
脉冲增量法的核心特点（本讲重点）：
- 每次插补结束后，仅向各坐标轴输出一个脉冲；
- 各坐标轴只产生一个脉冲当量的位移；
- 算法简单，只有加减法，没有乘除，易于硬件实现；
- 但各坐标轴不能联动——X 与 Y 不能同时动，只能一个方向走一步、判断一下再走下一步；
- 因此精度较低，主要用于开环系统（步进电机驱动的经济型数控机床）。
课堂上提到”数字积分法（DDA）可以两轴联动，X 和 Y 同时走”，这是它相对逐点比较法的优势，后续课程会讲。
4.5 逐点比较法：四个节拍
逐点比较法每走一步，都要依次经过四个节拍：
| 节拍 | 名称 | 做什么 |
|---|---|---|
| ① | 偏差判别 | 判断当前动点相对理想轮廓的位置（在线上、上方、下方 / 圆上、圆外、圆内） |
| ② | 坐标进给 | 按判别结果，沿某个坐标方向进给一步 |
| ③ | 偏差计算 | 用迭代公式算出新动点的偏差值（不用重算平方或乘除） |
| ④ | 终点判别 | 计数器减一，判断是否到达终点；未到则返回 ① 继续循环 |
关键理解：四个节拍中，第 ③ 步”偏差计算”是精髓——它把”重新代入坐标算偏差”这种带乘法（甚至平方）的运算，化简成了只用加减法的递推，这正是逐点比较法能用简单硬件实现的根本原因。
4.6 逐点比较法：直线插补
4.6.1 偏差判别式的推导
设第一象限内要加工直线 $OE$，起点 $O$ 在坐标原点，终点为 $E(X_e, Y_e)$。
理想直线的方程是：
$Y = \frac{Y_e}{X_e} X$
移项写成整式形式：
$X_e Y - Y_e X = 0$
现在设动点 $P(X, Y)$ 是刀具当前所在位置。要判断它在理想直线的上方、下方还是正好在线上，只需看 $X_e Y - Y_e X$ 的符号。于是定义偏差函数：
$F = X_e Y - Y_e X$
判别规则：
| 偏差函数 | 几何含义 |
|---|---|
| $F = 0$ | 动点正好在直线上 |
| $F > 0$ | 动点在直线上方 |
| $F < 0$ | 动点在直线下方 |
理解方法（老师强调”别死记”）：$F > 0$ 意味着 $X_e Y > Y_e X$，即 $\frac{Y}{X} > \frac{Y_e}{X_e}$——动点与原点连线的实际斜率大于理想斜率，自然就落在直线上方。
4.6.2 进给方向的确定
进给的目标是：让动点尽快回到理想直线上，并朝终点前进。
- 当 $F \ge 0$（点在直线上方或线上）：沿 $+X$ 方向进给一步；
- 当 $F < 0$（点在直线下方）：沿 $+Y$ 方向进给一步。
为什么？第一象限内理想直线是上升的：动点在直线上方时，往 $+X$ 走，理想直线在该处的 $Y$ 值也随之升高，正好向动点靠拢；动点在下方时，往 $+Y$ 走，动点抬起来，同样向直线靠拢。
4.6.3 偏差迭代公式的推导
（1）往 $+X$ 方向走一步：新坐标 $X’ = X + 1$，$Y$ 不变，代入偏差函数：
$F’ = X_e Y - Y_e (X + 1) = X_e Y - Y_e X - Y_e = F - Y_e$
即：
$F’ = F - Y_e$
（2）往 $+Y$ 方向走一步：新坐标 $Y’ = Y + 1$，$X$ 不变，代入：
$F’ = X_e (Y + 1) - Y_e X = X_e Y - Y_e X + X_e = F + X_e$
即：
$F’ = F + X_e$
结论：新偏差只需用旧偏差加/减一个常量（$X_e$ 或 $Y_e$），完全不需要乘法。
4.6.4 终点判别
用总步数做计数器：
$n = \lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$
每进给一步，计数器减一；减到 0 就说明到达终点，插补结束。
4.6.5 例题：直线 $(0,0) \to (4,3)$
已知：起点 $(0,0)$，终点 $E(4, 3)$。
准备：
- 偏差函数：$F = X_e Y - Y_e X = 4Y - 3X$
- 计数器初值：$n = \lvert 4 \rvert + \lvert 3 \rvert = 7$
插补过程：
| 步数 | 偏差判别 | 坐标进给 | 进给后坐标 | 新偏差计算 | 计数器 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | $(0, 0)$ | $F = 0$ | 7 |
| 1 | $F = 0 \ge 0$ | $+X$ | $(1, 0)$ | $F = 0 - 3 = -3$ | 6 |
| 2 | $F = -3 < 0$ | $+Y$ | $(1, 1)$ | $F = -3 + 4 = 1$ | 5 |
| 3 | $F = 1 \ge 0$ | $+X$ | $(2, 1)$ | $F = 1 - 3 = -2$ | 4 |
| 4 | $F = -2 < 0$ | $+Y$ | $(2, 2)$ | $F = -2 + 4 = 2$ | 3 |
| 5 | $F = 2 \ge 0$ | $+X$ | $(3, 2)$ | $F = 2 - 3 = -1$ | 2 |
| 6 | $F = -1 < 0$ | $+Y$ | $(3, 3)$ | $F = -1 + 4 = 3$ | 1 |
| 7 | $F = 3 \ge 0$ | $+X$ | $(4, 3)$ | $F = 3 - 3 = 0$ | 0（终点） |
结果核对：$+X$ 方向共进给 4 步、$+Y$ 方向共进给 3 步，合计 7 步，与计数器初值一致；终点恰好落在 $(4, 3)$ 上。
4.6.6 起点不在原点怎么办
上面的推导默认起点在坐标原点。如果例题的起点不在原点（例如从某一点开始加工一条斜线），有两种处理方式：
- 平移坐标原点：把工件坐标系的原点设到这条线段的起点上，让起点坐标变成 $(0,0)$，线段本身不变，于是原有公式全部可用。老师说这是”最快的”办法——因为工件坐标系本来就是你自己设定的，”你爱设在哪里就设在哪里”；
- 回到最原始的方法：老老实实用两点坐标重新推偏差函数（等价于做坐标平移）。
老师强调：不要去硬记”起点不在原点时的公式”，直接平移坐标系是最快的。
4.7 逐点比较法：圆弧插补
4.7.1 偏差判别式
圆弧插补的偏差函数用半径做比较：
$F = X^2 + Y^2 - R^2$
| 偏差函数 | 几何含义 |
|---|---|
| $F = 0$ | 动点在圆弧上 |
| $F > 0$ | 动点在圆外（半径偏大） |
| $F < 0$ | 动点在圆内（半径偏小） |
直观理解：$X^2 + Y^2$ 就是动点到圆心的距离平方，减去半径平方，就能看出点在圆外还是圆内。
4.7.2 进给方向的选择原则
圆弧比直线复杂，因为”能回到圆上”的方向通常有两个：
- 圆外的点，可以往 $-X$ 走，也可以往 $-Y$ 走（两个方向都能把点拉回圆上）；
- 圆内的点，可以往 $+X$ 走，也可以往 $+Y$ 走。
选择原则：选更靠近终点的那个方向。
老师用第一象限的逆圆弧举例：起点在 $+X$ 轴附近、终点在 $+Y$ 轴附近。动点跑到圆外时，往 $-X$ 走会让 $X$ 减小、更接近终点的 $X$ 值；而往 $-Y$ 走则离终点越来越远。所以**选 $-X$**。
反过来，如果是顺时针圆弧，起点与终点的相对位置变了，方向判断也就相反——这就是”顺圆与逆圆进给方向相反”的原因。
4.7.3 偏差迭代公式的推导
（1）往 $-X$ 方向走一步：$X’ = X - 1$，$Y$ 不变。
$F’ = (X - 1)^2 + Y^2 - R^2 = X^2 - 2X + 1 + Y^2 - R^2 = F - 2X + 1$
即：
$F’ = F - 2X + 1$
（2）往 $+Y$ 方向走一步：$Y’ = Y + 1$，$X$ 不变。
$F’ = X^2 + (Y + 1)^2 - R^2 = X^2 + Y^2 + 2Y + 1 - R^2 = F + 2Y + 1$
即：
$F’ = F + 2Y + 1$
（3）同理可得另外两种（用于顺圆）：
$F’ = F - 2Y + 1$（沿 $-Y$ 方向进给）
$F’ = F + 2X + 1$（沿 $+X$ 方向进给）
注意：式中的 $X$、$Y$ 都是进给之前的坐标值。
4.7.4 第一象限的四种情形汇总
| 圆弧类型 | 偏差判别 | 进给方向 | 新偏差迭代公式 |
|---|---|---|---|
| 逆圆（逆时针） | $F \ge 0$ | $-X$ | $F’ = F - 2X + 1$ |
| 逆圆（逆时针） | $F < 0$ | $+Y$ | $F’ = F + 2Y + 1$ |
| 顺圆（顺时针） | $F \ge 0$ | $-Y$ | $F’ = F - 2Y + 1$ |
| 顺圆（顺时针） | $F < 0$ | $+X$ | $F’ = F + 2X + 1$ |
四个象限（第一、二、三、四象限）各有一种逆圆与一种顺圆，合计 8 种情形，但推导思路完全一样：先看偏差正负定”圆外还是圆内”，再看”哪个方向更靠近终点”。
4.7.5 终点判别
圆弧的终点判别不能用 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$，而要用终点坐标与起点坐标之差的绝对值之和：
$n = \lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$
其中 $(X_s, Y_s)$ 是圆弧起点坐标。每走一步计数器减一，减到 0 结束。
直观理解：圆弧起点不在原点，所以总步数应由”从起点走到终点”在 X、Y 两个方向上分别要走多少步来决定。
4.7.6 例题：逆圆弧 $(4,0) \to (0,4)$
已知：逆时针圆弧，起点 $A(4, 0)$，终点 $B(0, 4)$，半径 $R = 4$。
准备：
- 偏差函数：$F = X^2 + Y^2 - R^2 = X^2 + Y^2 - 16$
- 计数器初值：$n = \lvert 0 - 4 \rvert + \lvert 4 - 0 \rvert = 4 + 4 = 8$
- 起点在圆弧上，故初始 $F = 4^2 + 0^2 - 16 = 0$
插补过程：
| 步数 | 偏差判别 | 坐标进给 | 进给后坐标 | 新偏差计算 | 计数器 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | $(4, 0)$ | $F = 0$ | 8 |
| 1 | $F = 0 \ge 0$ | $-X$ | $(3, 0)$ | $F = 0 - 2 \times 4 + 1 = -7$ | 7 |
| 2 | $F = -7 < 0$ | $+Y$ | $(3, 1)$ | $F = -7 + 2 \times 0 + 1 = -6$ | 6 |
| 3 | $F = -6 < 0$ | $+Y$ | $(3, 2)$ | $F = -6 + 2 \times 1 + 1 = -3$ | 5 |
| 4 | $F = -3 < 0$ | $+Y$ | $(3, 3)$ | $F = -3 + 2 \times 2 + 1 = 2$ | 4 |
| 5 | $F = 2 \ge 0$ | $-X$ | $(2, 3)$ | $F = 2 - 2 \times 3 + 1 = -3$ | 3 |
| 6 | $F = -3 < 0$ | $+Y$ | $(2, 4)$ | $F = -3 + 2 \times 3 + 1 = 4$ | 2 |
| 7 | $F = 4 \ge 0$ | $-X$ | $(1, 4)$ | $F = 4 - 2 \times 2 + 1 = 1$ | 1 |
| 8 | $F = 1 \ge 0$ | $-X$ | $(0, 4)$ | $F = 1 - 2 \times 1 + 1 = 0$ | 0（终点） |
结果核对：
- $-X$ 方向进给 4 步（第 1、5、7、8 步），$+Y$ 方向进给 4 步（第 2、3、4、6 步），合计 8 步，与计数器初值一致；
- 终点落在 $(0, 4)$ 上，且末次偏差 $F = 0$，说明终点正好在圆弧上；
- 逐点校验：$(3,3)$ 处 $F = 9 + 9 - 16 = 2$、$(2,4)$ 处 $F = 4 + 16 - 16 = 4$、$(1,4)$ 处 $F = 1 + 16 - 16 = 1$，与迭代表中数值一致，说明迭代公式正确。
课堂原话印证：老师讲第一步时明确算出”$0$ 减去 $2$ 乘 $4$ 加 $1$”即 $-7$；第二步算出”$-7$ 加 $2$ 乘 $0$ 加 $1$”即 $-6$，与上表完全对应。
4.8 课程整体回顾
老师最后对本课程的章节安排做了说明：
- 第三、四、六、七、八章各有定位：第三章是本讲的落脚点（编程部分结束）；第四章本课程未讲，主要讲机械结构；第六、七章也涉及结构与装置；第八章是故障诊断；
- 故障诊断更多属于电工与维修人员的职责范围，如果将来做编程员，不需要深入掌握；
- 本课程（24 学时）的最终目标是服务于人才培养计划：让大家在生产一线能独立编制简单零件的加工程序；
- 了解伺服系统、机械结构等知识，有助于将来在现有设备条件下挖掘潜力、提升精度，但这属于更进阶的内容。
五、例题与解题方法汇总
题型 1：逐点比较法直线插补（填表 + 画轨迹）
解题模板：
- 写出偏差函数 $F = X_e Y - Y_e X$（用终点坐标代入，把 $X_e$、$Y_e$ 换成具体数值）；
- 算计数器初值 $n = \lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$；
- 从起点开始，按”判别 → 进给 → 算新偏差 → 计数器减一”逐步填表；
- 判别规则：$F \ge 0$ 走 $+X$（$F’ = F - Y_e$）；$F < 0$ 走 $+Y$（$F’ = F + X_e$）；
- 计数器到 0 结束，核对终点坐标是否等于 $(X_e, Y_e)$，并核对 $+X$ 步数等于 $\lvert X_e \rvert$、$+Y$ 步数等于 $\lvert Y_e \rvert$。
易错点：
- 忘了第一步也要判别（$F = 0$ 时按 $\ge 0$ 处理，走 $+X$）；
- 迭代公式里的 $X_e$、$Y_e$ 是终点坐标的绝对值，别把动点坐标代进去；
- 计数器漏减或多减。
题型 2：逐点比较法圆弧插补（填表 + 判断方向）
解题模板：
- 写偏差函数 $F = X^2 + Y^2 - R^2$；
- 判断圆弧是顺时针还是逆时针，确定进给方向规则；
- 计数器初值 $n = \lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$；
- 逐点迭代：$F \ge 0$ 走 $-X$（逆圆）或 $-Y$（顺圆）；$F < 0$ 走 $+Y$（逆圆）或 $+X$（顺圆）；
- 迭代公式中代入的是进给前的坐标值；
- 到终点时应有 $F = 0$（若终点恰在圆弧上）。
易错点：
- 逆圆/顺圆搞反 → 方向全错；
- 迭代公式中的 $X$、$Y$ 误用进给后的值；
- 用直线那套 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$ 去算圆弧计数器。
题型 3：判断插补点相对于理想轮廓的位置
方法：把动点坐标代入偏差函数，看符号。
- 直线：$F = X_e Y - Y_e X$，正→上方，负→下方，零→线上；
- 圆弧：$F = X^2 + Y^2 - R^2$，正→圆外，负→圆内，零→圆上。
题型 4：起点不在原点的直线插补
方法：把工件坐标系原点平移到线段起点，使起点坐标为 $(0,0)$，其余步骤与题型 1 完全相同。不要另记新公式。
题型 5：简述插补的作用与方法分类
答题要点：
- 作用：机床各轴只能走直线，用极小步距折线逼近斜线/圆弧；把有限信息”数据密化”为一系列中间点，控制刀具运动；插补精度影响系统精度，插补速度影响进给速度，是数控系统的核心；
- 分类：脉冲增量法（逐点比较法、数字积分法、直接函数法、比较积分法）与数据采样法；
- 脉冲增量法特点：一次一个脉冲、只用加减法、各轴不联动、精度较低、多用于开环系统。
六、术语速查表
| 术语 | 含义 |
|---|---|
| 插补 | 根据有限信息在已知点之间计算中间点，控制刀具运动以拟合轮廓；即”数据密化” |
| 脉冲当量 | 数控系统每输出一个脉冲，坐标轴移动的最小位移量（经济型机床约 0.01 mm） |
| 脉冲增量法 | 每次插补结束只向各坐标轴输出一个脉冲的插补方法，又称行程标量插补 |
| 数据采样法 | 按固定采样周期计算出插补点的方法，又称时间标量插补 |
| 逐点比较法 | 每走一步比较一次偏差、只沿一个坐标轴进给的脉冲增量插补方法 |
| 数字积分法 | 简称 DDA，可实现两轴联动的脉冲增量插补方法 |
| 偏差函数 | 表征动点相对理想轮廓位置的函数，直线为 $X_e Y - Y_e X$，圆弧为 $X^2 + Y^2 - R^2$ |
| 四个节拍 | 偏差判别 → 坐标进给 → 偏差计算 → 终点判别 |
| 终点判别 | 用计数器统计剩余步数，每走一步减一，减到零即到终点 |
| 逆圆 | 逆时针方向的圆弧插补 |
| 顺圆 | 顺时针方向的圆弧插补 |
| 备刀（选刀） | 提前把下一把要用的刀转到换刀位，减少换刀等待时间；与换刀是两件事 |
T__ M06 |
加工中心的换刀指令组合（T 选刀号、M06 执行换刀） |
| 加工余量 | 毛坯上留出、供后续工序切除的金属层；”预留 0.5”即给精加工留 0.5 mm |
| 背吃刀量 AP | 刀具切入工件的深度（切削深度） |
| 先面后孔 | 先加工平面再加工孔的工艺原则，防止孔因材料变形超差 |
| 子程序 | 供主程序调用的程序段，用于组织长程序（M98 调用、M99 返回） |
| 自动编程 | 借助 CAD/CAM 软件完成刀路规划与程序生成，需人工校验工艺 |
| CAM | 计算机辅助制造，负责刀路规划、切削用量推荐与程序输出 |
| 后置处理 | 把 CAM 生成的刀路转换成特定机床数控系统能识别的程序 |
| 数据密化 | 在已知点之间补出中间点的过程，即插补的实质 |
七、课堂强调与复习重点
- “备刀”和”换刀”要分清：程序里单独的
T__是备刀，换刀要配合换刀指令。 - 加工余量的概念必须建立起来：毛坯不能等于零件尺寸；”预留 0.5”是留给后道工序的。老师特别说明工艺学上还没正式讲这个概念，但这里必须理解。
- 切削用量小规律可以自查：粗到精，转速升、进给降。
- 点位计算善用对称性，能省一半计算量；极限位置不要取到极限。
- **插补的定义不用抠字眼，但要知道它”是什么现象”**：就是用极小折线逼近轮廓，当脉冲当量足够小时宏观上就是直线。
- 插补是数控系统的核心，精度和速度都受它影响。
- 逐点比较法四个节拍必须背熟：偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
- 偏差函数的正负与位置对应关系必须理解，不要死记公式——“忘了就现场推一下”。
- 迭代公式的推导过程要会推：直线是代入 $X+1$ 或 $Y+1$，圆弧是代入 $(X-1)^2$ 或 $(Y+1)^2$ 展开。
- 圆弧进给方向的判断逻辑：先在”能回到圆上”的两个方向里挑，再选更靠近终点的那个。
- 顺圆与逆圆方向相反，做题先判断顺逆。
- 两类终点判别不要混：直线用 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$，圆弧用 $\lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$。
- 自动编程不替代工艺判断：软件给的参数要校验，”它推荐的最好，但不一定是你的设备能做出来的”。
- 手工编程是基础：先掌握数控车、数控铣的程序编制，才能理解加工中心这类多工序集中设备的工艺安排。
- 后续章节定位：第四章（机械结构）本课程不讲；第八章（故障诊断）偏电工与维修，编程员不必深究。
八、【以教材为准】待核对清单
以下条目因录音环境噪声、口述省略或与教材符号习惯不一致，建议对照教材核对：
- 偏差函数的书写顺序。课堂上口述为”$F$ 等于 $y$ 乘 $x_1$ 减去 $x$ 乘 $y_1$”，即 $F = X_e Y - Y_e X$；部分教材写作 $F = Y_e X - X_e Y$，此时判别与进给方向会整体反号。以教材定义为准，关键是判别与进给要自洽。
- **偏差函数是否为”绝对值形式”**。有的教材用 $F = \lvert X_e Y \rvert - \lvert Y_e X \rvert$ 处理各象限，本讲按第一象限讲解。
- 圆弧偏差函数的形式。本讲按 $F = X^2 + Y^2 - R^2$ 讲解；有的教材用 $F = X^2 + Y^2 - R^2$ 的等值变形或直接以 $R^2$ 为基准比较，以教材为准。
- 圆弧迭代公式中坐标取值时机。本讲推导中 $X$、$Y$ 取进给前的值；请对照教材确认其符号约定。
- 孔加工循环指令。课堂上提到该孔”用
G85也可以，其实G81也可以”。G85（精镗循环）与G81（钻孔循环）在具体数控系统中的作用与退刀方式不同，具体用哪条以教材与机床系统为准。 - “记忆体/计数器”的教材页码。课堂上提到”可以翻到 121 页的记忆体”，此处页码与名称系录音听录，以教材实际章节为准。
- 终点判别计数器的定义。本讲直线用 $\lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$、圆弧用 $\lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$；有的教材圆弧用总步数 $\lvert X_e - X_s \rvert + \lvert Y_e - Y_s \rvert$ 的等价写法，结果一致。
- 例题 2 的终点坐标。录音听录为”起点 4,0、终点 0,4”，据此计数器为 8（4 加 4），与课堂口述一致，故判定终点为 $(0,4)$。若教材例题另有数值，以教材为准。
- 例题 1 的终点坐标。录音听录为 $X_e = 4$、$Y_e = 3$，计数器为 7，与课堂口述一致。
- “卡地亚”应为 CATIA、**”MasterCAD”应为 Mastercam、“Walk”应为 SolidWorks**——均为录音音译误差，已按行业通用名称修正。
- 自动编程软件中提到的”TIDA”（录音听录）在本次录音中无法确定对应软件，可能为 CATIA 的重复提及，未在正文中列出。
- 数控车螺纹指令。课堂上提到”车螺纹的功能代码”以及 Fanuc 系统中
G90/G91用于绝对/增量坐标系（车床侧），具体指令以教材为准。
九、复习自测（20 题）
基础概念（1–6）
- 程序中出现单独的
T05，表示什么？它与换刀是什么关系？ - 为什么毛坯的高度不能直接取零件的 15 mm？
- 程序单里写”平面预留加工余量 0.5”，这 0.5 mm 是留给谁的？
- 说出”粗加工到精加工”时转速与进给量的变化规律。
- 什么是插补？为什么数控机床需要插补？
- 插补运算的精度和速度分别影响数控系统的什么？
插补方法（7–11）
- 插补方法分为哪两大类？各举两个代表方法。
- 脉冲增量法有哪几个特点？（至少说四条）
- 为什么说逐点比较法的精度比较低？
- 逐点比较法的四个节拍是什么？
- 脉冲当量的大小对加工表面有什么影响？
直线插补（12–15）
- 写出逐点比较法直线插补的偏差函数，并说明 $F > 0$、$F < 0$ 分别表示动点在什么位置。
- 直线插补中，$F \ge 0$ 和 $F < 0$ 分别沿什么方向进给？新偏差如何迭代？
- 直线插补的终点判别计数器初值怎么取？
- 若直线起点不在坐标原点，最简单的处理方法是什么？
圆弧插补（16–18）
- 写出圆弧插补的偏差函数，并说明正负号的含义。
- 圆弧插补时，如何在两个候选进给方向中做出选择？
- 逆圆（逆时针）与顺圆（顺时针）在第一象限的进给方向分别是什么？
综合计算（19–20）
- 用逐点比较法对直线 $(0,0) \to (6,2)$ 进行插补，列出完整插补表（含步数、偏差判别、进给方向、进给后坐标、新偏差、计数器）。
- 用逐点比较法对逆圆弧 $(0,4) \to (4,0)$（半径 4）进行插补，列出完整插补表，并说明为什么这条弧的进给方向与例题中的 $(4,0) \to (0,4)$ 不同。
十、复习自测参考答案
1. 表示提前备刀（选刀）：把 5 号刀预先轮转到换刀位，下次要用时可直接抓取，省去刀库轮转的等待时间。它与换刀是两件事——真正执行换刀的是换刀指令（加工中心通常 M06），选刀只是做准备。
2. 因为零件尺寸是最终尺寸，毛坯必须留出加工余量。若毛坯直接取 15 mm，切一刀 1 mm 就只剩 14 mm，已不满足零件要求，工件只能报废。
3. 留给精加工。这道工序（粗加工）先把大部分余量切掉，只留 0.5 mm 给后续精加工切除，以保证最终尺寸精度与表面质量。
4. 粗加工 → 半精加工 → 精加工：转速逐级提高，进给量逐级降低。
5. 插补是根据给定的有限信息（直线段的起点与终点、圆弧的起点/终点/圆心/半径等），用一定算法在已知点之间计算出一系列中间点，控制刀具沿中间点运动，从而拟合出所需轮廓。需要插补是因为数控机床各坐标轴只能做直线运动，而零件轮廓多为斜线与圆弧，只能用极小步距的折线去逼近。
6. 插补运算的精度影响数控系统的精度（能否走出理想的直线/圆弧）；插补运算的速度影响数控系统的进给速度。
7. 分为脉冲增量法（又称行程标量插补，代表：逐点比较法、数字积分法 DDA、直接函数法、比较积分法）与数据采样法（又称时间标量插补）。
8. ①每次插补结束仅向各坐标轴输出一个脉冲；②各坐标轴只产生一个脉冲当量的位移；③算法简单，只有加减法、没有乘除，易于硬件实现；④各坐标轴不能联动（X、Y 不能同时动）；⑤精度较低，主要用于开环系统。
9. 因为它各坐标轴不能联动：每走一步只能沿一个坐标方向进给，走完要重新判别再决定下一步，轮廓是用”阶梯状”折线逼近的，所以逼近误差相对联动插补更大。
10. ①偏差判别 → ②坐标进给 → ③偏差计算 → ④终点判别（未到终点返回第 ① 步）。
11. 脉冲当量越小，每步位移越小，折线越细密，宏观上越接近理想轮廓（经济型机床约 0.01 mm，肉眼看不出锯齿）；脉冲当量越大（例如 1 mm），走出来的轮廓就会呈现明显锯齿状。
12. 偏差函数 $F = X_e Y - Y_e X$。$F = 0$ 表示动点在直线上；$F > 0$ 表示动点在直线上方；$F < 0$ 表示动点在直线下方。
13. $F \ge 0$ 时沿 $+X$ 方向进给一步，新偏差 $F’ = F - Y_e$；$F < 0$ 时沿 $+Y$ 方向进给一步，新偏差 $F’ = F + X_e$。
14. 计数器初值取 $n = \lvert X_e \rvert + \lvert Y_e \rvert$，即 X、Y 两个方向需要进给的总步数；每进给一步减一，减到零即到终点。
15. 把工件坐标系的原点平移到该线段的起点，使起点坐标变为 $(0,0)$，线段本身不变，之后完全套用起点在原点的公式即可——这是最快的办法，不必另记新公式。
16. 偏差函数 $F = X^2 + Y^2 - R^2$。$F = 0$ 表示动点在圆弧上；$F > 0$ 表示动点在圆外（半径偏大）；$F < 0$ 表示动点在圆内（半径偏小）。
17. 圆弧上”能回到圆上”的方向通常有两个（例如圆外的点可走 $-X$ 或 $-Y$）。选择原则是：在两个候选方向中，选更靠近终点的那个——这样既能回到圆弧附近，又同时朝终点推进，整体步数最少。
18. 第一象限内：逆圆在 $F \ge 0$ 时沿 $-X$ 进给、在 $F < 0$ 时沿 $+Y$ 进给；顺圆在 $F \ge 0$ 时沿 $-Y$ 进给、在 $F < 0$ 时沿 $+X$ 进给。
19. 终点 $E(6, 2)$，偏差函数 $F = X_e Y - Y_e X = 6Y - 2X$，计数器初值 $n = \lvert 6 \rvert + \lvert 2 \rvert = 8$。
| 步数 | 偏差判别 | 坐标进给 | 进给后坐标 | 新偏差计算 | 计数器 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | $(0, 0)$ | $F = 0$ | 8 |
| 1 | $F = 0 \ge 0$ | $+X$ | $(1, 0)$ | $F = 0 - 2 = -2$ | 7 |
| 2 | $F = -2 < 0$ | $+Y$ | $(1, 1)$ | $F = -2 + 6 = 4$ | 6 |
| 3 | $F = 4 \ge 0$ | $+X$ | $(2, 1)$ | $F = 4 - 2 = 2$ | 5 |
| 4 | $F = 2 \ge 0$ | $+X$ | $(3, 1)$ | $F = 2 - 2 = 0$ | 4 |
| 5 | $F = 0 \ge 0$ | $+X$ | $(4, 1)$ | $F = 0 - 2 = -2$ | 3 |
| 6 | $F = -2 < 0$ | $+Y$ | $(4, 2)$ | $F = -2 + 6 = 4$ | 2 |
| 7 | $F = 4 \ge 0$ | $+X$ | $(5, 2)$ | $F = 4 - 2 = 2$ | 1 |
| 8 | $F = 2 \ge 0$ | $+X$ | $(6, 2)$ | $F = 2 - 2 = 0$ | 0（终点） |
核对：$+X$ 共 6 步、$+Y$ 共 2 步，合计 8 步，与计数器一致；终点 $(6,2)$ 与给定终点相同。
20. 终点 $B(4, 0)$，起点 $A(0, 4)$，半径 $R = 4$，偏差函数 $F = X^2 + Y^2 - 16$，计数器初值 $n = \lvert 4 - 0 \rvert + \lvert 0 - 4 \rvert = 8$。
该弧从 $+Y$ 轴附近走向 $+X$ 轴附近，是顺时针（顺圆）方向。
| 步数 | 偏差判别 | 坐标进给 | 进给后坐标 | 新偏差计算 | 计数器 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | $(0, 4)$ | $F = 0 + 16 - 16 = 0$ | 8 |
| 1 | $F = 0 \ge 0$ | $-Y$ | $(0, 3)$ | $F = 0 - 2 \times 4 + 1 = -7$ | 7 |
| 2 | $F = -7 < 0$ | $+X$ | $(1, 3)$ | $F = -7 + 2 \times 0 + 1 = -6$ | 6 |
| 3 | $F = -6 < 0$ | $+X$ | $(2, 3)$ | $F = -6 + 2 \times 1 + 1 = -3$ | 5 |
| 4 | $F = -3 < 0$ | $+X$ | $(3, 3)$ | $F = -3 + 2 \times 2 + 1 = 2$ | 4 |
| 5 | $F = 2 \ge 0$ | $-Y$ | $(3, 2)$ | $F = 2 - 2 \times 3 + 1 = -3$ | 3 |
| 6 | $F = -3 < 0$ | $+X$ | $(4, 2)$ | $F = -3 + 2 \times 3 + 1 = 4$ | 2 |
| 7 | $F = 4 \ge 0$ | $-Y$ | $(4, 1)$ | $F = 4 - 2 \times 2 + 1 = 1$ | 1 |
| 8 | $F = 1 \ge 0$ | $-Y$ | $(4, 0)$ | $F = 1 - 2 \times 1 + 1 = 0$ | 0（终点） |
核对：$+X$ 共 4 步、$-Y$ 共 4 步，合计 8 步，终点落在 $(4, 0)$。
为什么方向与例题相反：两题走的是同一条圆弧（圆心在原点、半径 4）的相反走向。例题 $(4,0) \to (0,4)$ 是逆时针，从 $+X$ 轴附近走向 $+Y$ 轴附近，圆外的点应往 $-X$ 走（更接近终点的 X 值）；本题 $(0,4) \to (4,0)$ 是顺时针，从 $+Y$ 轴附近走向 $+X$ 轴附近，圆外的点应往 $-Y$ 走（更接近终点的 Y 值）。可见进给方向取决于”哪个方向更靠近终点“，而不是圆弧本身，所以顺圆与逆圆的方向正好相反。