轮系传动比计算：定轴、周转与复合轮系
机械原理轮系传动比笔记：定轴轮系、周转轮系（行星/差动）、复合轮系的传动比计算——转化轮系（反转法）、系杆 H、太阳轮与行星轮、外/内啮合符号 (−1)^m、空间轮系箭头法、大传动比 10000 与 −100、运动的合成分解、配齿同轴隐藏条件（含课前蜗杆三级减速习题讲评）
本节是《机械原理》第九章 轮系的新授课。开课先用约 20 分钟讲评上一章蜗杆传动的最后一道综合练习题（锥齿轮 + 斜齿圆柱齿轮 + 蜗杆蜗轮三级减速，判旋向、转向与各分力），随后进入本章主体：轮系的定义与分类（定轴、周转、复合）、轮系的功用、定轴轮系传动比（含空间轮系箭头法）、周转轮系传动比——转化轮系（反转）法、行星轮系大传动比与差动轮系运动的合成和分解、以及本章最大难点复合轮系传动比（拆分基本轮系 + 同轴/固定等隐藏条件 + 联立求解），并串讲教材例 9-1、9-4、9-5、9-6。
蜗杆传动的系统手册见同系列蜗杆篇；本篇开头的蜗杆习题讲评只作提纲式衔接，重点放在轮系。
一、核心结论（先记住这 20 条）
- 轮系是由一系列齿轮（含圆柱齿轮、锥齿轮、蜗杆蜗轮等）通过啮合组成、用于传递运动和动力的传动系统。
- 轮系分三大类：定轴轮系、周转轮系、复合（混合）轮系。
- 定轴轮系：传动时所有齿轮的轴线位置都固定不动（双联齿轮固连在同一根固定轴上，轴仍固定）。
- 周转轮系：至少有一个齿轮（行星轮）的轴线不固定，它绕自身轴线自转的同时，还随支承它的构件绕另一固定轴线公转。
- 周转轮系三件套：中心轮（太阳轮，常用 1、3 表示）、行星轮（常用 2 表示）、系杆（行星架/转臂，用 $H$ 表示）；类比太阳系，中心轮是”太阳”，行星轮既自转又公转，系杆带着行星轮转。
- 周转轮系再分两种：行星轮系（有一个中心轮被固定，自由度为 1）和差动轮系（两个中心轮都能转动，自由度为 2，可做运动的合成与分解）。
- 复合轮系：同一套机构中既有定轴轮系又有周转轮系（或有多个周转轮系）组合而成；只有周转、没有定轴部分的仍是周转轮系，不能叫复合。
- 轮系功用：①实现较远距离两轴传动（用多对小齿轮代替一对大齿轮，减小尺寸）；②实现变向/换向与变速（汽车换挡变速箱）；③获得很大的传动比（少数齿之差可得到上万倍）；④实现运动的合成与分解（汽车差速器、加法/减法机构）；⑤实现大功率传动（功率分流、齿轮可做得轻小，用于航空、无人机）。
- 一对齿轮传动比：$i_{12}=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{z_2}{z_1}$（转速与齿数成反比）；外啮合两轮转向相反取负号，内啮合两轮转向相同取正号。
- 平面定轴轮系传动比（各轴互相平行）：
$$\boxed{i_{1k}=\frac{n_1}{n_k}=(-1)^m,\frac{\text{各级从动轮齿数的连乘积}}{\text{各级主动轮齿数的连乘积}}}$$
其中 $m$ 为外啮合的次数（内啮合不改变符号、不计入 $m$）。
11. 同一根轴上固连的双联（多联）齿轮转速相同，如 $n_2=n_{2’}$，列连乘式时正是靠”同轴转速相等”把中间转速约掉。
12. 空间定轴轮系（含锥齿轮、蜗杆蜗轮等相交/交错轴齿轮）：首末两轴平行时，传动比大小仍按齿数连乘求，但正负号不能用 $(-1)^m$，必须用画箭头法确定；首末两轴不平行时，不能用正负号，只能在图上逐轮画箭头表示转向。
13. 周转轮系不能直接套定轴公式，要用转化轮系法（反转法）：给整个轮系叠加一个公共转速 $(-n_H)$，使系杆 $H$ 相对”静止”，周转轮系就转化成定轴轮系（转化机构/转化轮系）。
14. 转化后各轮转速（上标 $H$ 表示相对系杆）：$n_1^{H}=n_1-n_H$，$n_2^{H}=n_2-n_H$，$n_3^{H}=n_3-n_H$，而 $n_H^{H}=n_H-n_H=0$。
15. 转化轮系传动比公式（本章核心）：
$$\boxed{i_{13}^{H}=\frac{n_1-n_H}{n_3-n_H}=(-1)^m,\frac{\text{从动轮齿数连乘积}}{\text{主动轮齿数连乘积}}}$$
上标 $H$ 绝不能漏；式中 $m$、齿数比都按系杆固定后的转化轮系来数。
16. 行星轮系有一个中心轮固定（如 $n_3=0$），代入上式即可在 $n_1$、$n_H$ 间直接求解；差动轮系两中心轮都转，一个方程联系 $n_1$、$n_3$、$n_H$ 三个转速，需再给条件。
17. 大传动比经典例：双联行星轮 $2$-$2’$、两中心轮 $1$、$3$，$n_3=0$，取 $z_1=100,z_2=101,z_{2’}=100,z_3=99$ 得 $i_{H1}=1/10000$（即系杆转 1 万圈、轮 1 才转 1 圈，同向）；仅把 $z_1$ 改成 99，就变成 $i_{H1}=-1/100$（反向）——齿数微调可使传动比剧变、甚至反向，转向正负号是算出来的，不是靠猜。
18. 差动轮系中系杆转速是两中心轮转速的线性合成，如 $n_H=\tfrac16 n_1+\tfrac56 n_3$；两中心轮同向时代入同号，反向时一代正、一代负（通常令 $n_1$ 为正），由结果正负判系杆转向。
19. 复合轮系四步走：①拆分基本轮系（先找轴线不固定的行星轮，圈出它所属的周转轮系：行星轮 + 相啮合的中心轮 + 系杆；其余轴线全固定的归定轴轮系；注意可能有多个周转轮系）；②对每个基本轮系分别列传动比方程；③找连接条件与隐藏条件（同轴构件转速相等、固定轮转速为 0、同轴中心距相等的配齿条件）；④联立方程消去中间转速，由结果正负判断转向。
20. 常用配齿隐藏条件：同一系杆上两侧啮合中心距相等。外啮合 + 内啮合组合时 $\tfrac{m}{2}(z_1+z_2)=\tfrac{m}{2}(z_3-z_{2’})$，模数相同约掉，得 $\boxed{z_1+z_2=z_3-z_{2’}}$；这是题目不明给、却能据图推出的”隐藏条件”。
二、知识结构（本节脉络）
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三、详细知识点笔记
（〇）课前习题讲评：锥齿轮 + 斜齿轮 + 蜗杆三级减速（蜗杆篇收尾题）
题目为三级减速系统：第一级锥齿轮、第二级斜齿圆柱齿轮、第三级蜗杆蜗轮，要求确定斜齿轮 1、2 及蜗杆、蜗轮的旋向，使 II 轴、III 轴上的轴向力尽量抵消（最小），并标出各轴转向与各轮分力。讲评要点（详细方法见蜗杆篇）：
- 锥齿轮轴向力永远由轮齿小端指向大端（沿轴线、背离锥顶），与转向、旋向无关，据此先定 $F_{a3}$、$F_{a4}$。
- 要让同一根轴上两个齿轮的轴向力互相抵消，它们方向必须相反，由此反推斜齿轮和蜗杆的轴向力方向。
- 用左右手定则反推旋向：四指顺齿轮转向、大拇指与轴向力重合，用哪只手就是哪种旋向；画旋向斜线时人要站在与轴线平行的方向、斜线与轴线重合，斜向右上为右旋、斜向左上为左旋。
- 一对啮合的斜齿圆柱齿轮旋向相反；蜗杆与蜗轮旋向相同。
- 蜗轮是从动件，不能直接用左右手定则；其轴向力要由蜗杆受力反推：交错轴 $F_{a1}=-F_{t2}$、$F_{t1}=-F_{a2}$、$F_{r1}=-F_{r2}$。
- 圆周力”主动反、从动同”，径向力指向各自轮心；垂直纸面的方向用”点（箭头尖朝外）”和”叉（箭尾朝里）”表示。
- 这道题里多对齿轮轴线并不平行，转向只能靠画箭头逐轮传递——这正是本章”空间轮系用箭头法判转向”的预热。
（一）轮系的定义
由一系列齿轮（圆柱齿轮、锥齿轮、蜗杆蜗轮等）组成的传动系统称为轮系。轮系中可以有一根轴上固连两个或多个齿轮（双联、多联齿轮），它们转速相同但分别与不同齿轮啮合。
研究轮系主要解决两类问题：①求传动比（首、末两轮转速之比，含大小和转向关系）；②按要求的传动比和布置进行轮系设计与配齿。
（二）轮系的分类
1. 定轴轮系
传动时所有齿轮几何轴线的位置都固定不变。判断时逐根轴看：只要每根轴的空间位置不变，即使轴上固连着双联齿轮，也是定轴轮系。
2. 周转轮系
至少有一个齿轮的几何轴线不固定，它绕固定轴线回转。以最简单的周转轮系为例：
- 中心轮（太阳轮）1、3：与整个轮系同轴线、绕固定轴线 $O$ 转动，是”太阳”；
- 行星轮 2：空套（或铰接）在系杆上，一方面绕自身轴线自转，一方面被系杆带着绕中心轮公转，如同地球；
- **系杆（行星架、转臂）$H$**：支承行星轮、并绕主轴线回转的构件。
周转轮系再分：
- 行星轮系（行星传动）：两个中心轮中有一个固定不动（$n=0$），整个轮系只剩一个独立运动，自由度为 1，只要一个原动件输出就确定；
- 差动轮系（差动传动）：两个中心轮都不固定、都能转动，自由度为 2，需要两个独立运动才能确定，可用于运动的合成与分解。
3. 复合（混合）轮系
由定轴轮系和周转轮系（或几个周转轮系）组合而成。判别时注意：如果一套机构里找不到任何定轴部分、全是周转，那它仍然只是周转轮系（课堂判别题中”9-6 上图”是周转轮系，”9-6 下图”同时含定轴与周转才是复合轮系）。
（三）轮系的功用
- 实现较远距离两轴之间的传动：若两轴相距很远而只用一对齿轮，两个齿轮都要做得很大；改用若干对齿轮组成轮系，可在同样中心距下显著减小各轮尺寸，使结构紧凑。
- 实现变速、变向（换向）：如汽车变速箱通过换挡（换不同啮合的齿轮对）得到多挡传动比和正倒车。
- 获得很大的传动比：周转轮系中利用齿数的微小差别可获得极大传动比（见后文 10000∶1 例题）。
- 实现运动的合成与分解：差动轮系有两个自由度，能把两个运动合成为一个，或把一个运动分解为两个，如汽车后桥差速器（转弯时两驱动轮以不同转速滚动）、加法/减法（差分）机构。
- 实现大功率传动：轮系可采用多路分流，由多个行星轮共同承担载荷，齿轮可做得轻小，适用于航空发动机、小型无人机等既要大动力又要轻量化的场合。
（四）定轴轮系传动比（本章第一个重点）
1. 一对圆柱齿轮（单级）
$$i_{12}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}$$
- 外啮合（两个外齿轮相啮合）：两轮转向相反，传动比取负号，即 $i_{12}=-\dfrac{z_2}{z_1}$；
- 内啮合（小齿轮与内齿圈啮合）：两轮转向相同，传动比取正号，即 $i_{12}=+\dfrac{z_2}{z_1}$。
2. 多级定轴轮系：各级连乘
以课堂的 1—2、2′—3、3′—4、4—5 轮系为例（2 与 2′、3 与 3′ 分别固连同轴）：
$$i_{15}=\frac{n_1}{n_5}=i_{12},i_{2’3},i_{3’4},i_{45}$$
展开时，每一级都是”从动轮齿数 / 主动轮齿数”，并按外啮合次数带符号：
$$i_{15}=(-1)^m\frac{z_2,z_3,z_4,z_5}{z_1,z_{2’},z_{3’},z_4}$$
其中同一根轴上的双联齿轮转速相等（$n_2=n_{2’}$、$n_3=n_{3’}$），这正是连乘后中间转速（$n_2、n_3、n_4$）能被约掉的原因。角标约定：$i_{ab}$ 表示轮 $b$ 相对轮 $a$ 的传动比，$i_{ab}=\dfrac{n_a}{n_b}$，写连乘式时要让中间轴转速在分子、分母上成对出现以便约去。
3. 平面定轴轮系一般公式
当轮系中各齿轮轴线全部互相平行时：
$$\boxed{i_{1k}=\frac{n_1}{n_k}=(-1)^m,\frac{\prod z_{\text{从动}}}{\prod z_{\text{主动}}}}$$
- $m$ 为外啮合次数：每发生一次外啮合，转向反转一次，故乘一个 $(-1)$；内啮合不反转，不计入 $m$；
- 分子为各级从动轮齿数连乘积，分母为各级主动轮齿数连乘积；
- 结果为正说明首、末轮转向相同，为负则相反。
- 若某个轮同时与两个轮啮合（惰轮/介轮/过轮），它在分子、分母中各出现一次而被约掉，不影响传动比大小，但每多一次外啮合就改变一次符号（影响转向）。
4. 空间定轴轮系：画箭头法
当轮系中含有锥齿轮、蜗杆蜗轮等相交轴或交错轴齿轮时，各轴不再全平行：
- 传动比的大小仍等于各级从动轮齿数积 / 主动轮齿数积；
- 转向不能再统一用 $(-1)^m$ 表示，要在运动简图上逐对画箭头：
- 一对圆柱齿轮外啮合，啮合点处两箭头同时指向啮合点或同时背离（转向相反）；内啮合两箭头同向；
- 一对锥齿轮，两箭头在啮合点处同时指向节点或同时背离节点；
- 蜗杆蜗轮按蜗杆旋向和左右手定则、圆周力”从动同”判蜗轮转向（见蜗杆篇）。
- 若首、末两轮轴线恰好平行，可在算出大小后，根据箭头判断结果在传动比前加正号或负号；若首末轴不平行，则传动比没有正负意义，只能用箭头说明各轮转向。
5. 例 9-1（教材约 132 页）：空间定轴轮系配齿
题图含锥齿轮与圆柱齿轮，给出部分齿数，要求 $i_{15}$、$i_{1’5’}$ 并确定 $z_{2’}$、$z_3$、$z_4$。要点：
- 因属空间轮系，只需求传动比大小并画箭头标方向，**不套 $(-1)^m$**；
- 按啮合顺序写齿数比：1—2 外啮合（$z_2/z_1$）、2′—3（$z_3/z_{2’}$）、3—4 内啮合（$z_4/z_3$）、4′—5（$z_5/z_{4’}$）等，代入已知齿数连乘；
- 由同轴（同轴线）齿轮转速相等、以及中心距装配条件，得到未知齿数的比值（课堂算得 $z_4:z_{2’}=25:32$ 一类比例）；
- 齿数必须是整数，比值可整体放大为 $50:64$、$75:96$ 等；取值应取最小整数比（往小取），因为齿数越大、齿轮和整个传动装置尺寸越大。具体齿数与比值[以教材例 9-1 数据为准]。
（五）周转轮系的组成与判别
- 中心轮 1、3：绕固定主轴线转动，外齿的又称太阳轮；若有内齿圈也作为中心轮之一。
- 行星轮 2（可有多联，如 2-$2’$）：与中心轮啮合、空套在系杆上，既有自转又有公转。
- **系杆 $H$**：支承行星轮并绕主轴线回转。
- 判别口诀：先找”轴会动”的轮——哪个齿轮的轴线在运动中位置改变，它就是行星轮；支承它的就是系杆 $H$；与行星轮啮合、绕固定主轴转动的就是中心轮。
- 有一个中心轮固定 → 行星轮系；两个中心轮都能转 → 差动轮系。
（六）转化轮系法（反转法）——周转轮系传动比的核心
周转轮系中行星轮的运动不是绕固定轴线的简单转动，不能直接套用定轴轮系公式。处理方法是转化机构法（反转法）：
给整个周转轮系统一叠加一个大小相等、方向与系杆相反的公共转速 $(-n_H)$。根据相对运动原理，叠加公共转动后各构件之间的相对运动不变，但系杆的转速变成：
$$n_H^{H}=n_H-n_H=0$$
即系杆”静止不动”了，于是周转轮系被转化成一个假想的定轴轮系——转化轮系（转化机构）。各轮在转化轮系中的转速为：
$$n_1^{H}=n_1-n_H,\qquad n_2^{H}=n_2-n_H,\qquad n_3^{H}=n_3-n_H$$
在转化轮系中，1 到 3 已是定轴传动，按定轴公式写：
$$\boxed{i_{13}^{H}=\frac{n_1^{H}}{n_3^{H}}=\frac{n_1-n_H}{n_3-n_H}=(-1)^m\frac{\prod z_{\text{从动（转化轮系中）}}}{\prod z_{\text{主动（转化轮系中）}}}}$$
使用要点（高频失分点）：
- 上标 $H$ 不能漏：$i_{13}^{H}$、$n_1^{H}$、$n_3^{H}$ 都是”系杆固定后”的相对量，与原轮系绝对转速不同；
- 公式右边的 $(-1)^m$ 和齿数比，一律按系杆固定后的转化轮系去数外啮合次数、去定主动/从动，不能按原轮系想当然；
- 含锥齿轮的空间周转轮系（转化后仍是空间轮系），右边符号同样要用画箭头法确定，不能机械套 $(-1)^m$；
- $n_1、n_3、n_H$ 都是代数量：先规定一个正方向，与其同向取正、反向取负，算得结果的正负即表示转向。
对一般的 $G$、$K$ 两轮，可写成：
$$i_{GK}^{H}=\frac{n_G-n_H}{n_K-n_H}=(\text{转化轮系中 G 到 K 的定轴传动比})$$
（七）行星轮系与大传动比经典例题
当某一中心轮固定（设 $n_3=0$），代入转化公式：
$$\frac{n_1-n_H}{0-n_H}=i_{13}^{H}\ \Rightarrow\ 1-\frac{n_1}{n_H}=i_{13}^{H}$$
即可在 $n_1$ 与 $n_H$ 之间直接求解。
经典大传动比例（双联行星轮、两外齿中心轮，轮 3 固定）：齿轮 1、3 为两个同轴线的外齿中心轮，$2$-$2’$ 为固连的双联行星轮，分别与 1、3 啮合（转化后为两次外啮合，$m=2$，符号取正），轮 3 固定 $n_3=0$。
转化轮系传动比：
$$i_{13}^{H}=\frac{n_1-n_H}{n_3-n_H}=+\frac{z_2 z_3}{z_1 z_{2’}}$$
令 $r=\dfrac{z_2 z_3}{z_1 z_{2’}}$，由 $n_3=0$：
$$\frac{n_1-n_H}{-n_H}=r\ \Rightarrow\ n_1=n_H(1-r)\ \Rightarrow\ i_{H1}=\frac{n_H}{n_1}=\frac{1}{1-r}$$
- 取 $z_1=100,\ z_2=101,\ z_{2’}=100,\ z_3=99$：
$$r=\frac{101\times99}{100\times100}=\frac{9999}{10000},\qquad i_{H1}=\frac{1}{1-9999/10000}=10000$$
即系杆转 10000 圈，中心轮 1 才同向转 1 圈（$i_{1H}=1/10000$，极大减速、且同向）。
- 仅把 $z_1$ 由 100 改成 99：
$$r=\frac{101\times99}{99\times100}=\frac{101}{100},\qquad i_{H1}=\frac{1}{1-101/100}=-100$$
传动比骤变为 $-100$，负号表示系杆与轮 1 转向相反。
结论：周转轮系可用很少、很接近的齿数获得极大传动比，个别齿数增减 1 就能使传动比剧变、甚至改变转向；最终转向的正负必须由代数计算确定，不能凭感觉判断。（该例齿轮的具体啮合布置与符号[以教材原图为准]。）
（八）差动轮系与例 9-4：运动的合成与分解
差动轮系两个中心轮都转动，转化公式把 $n_1、n_3、n_H$ 三个转速联系在一个方程中：
$$\frac{n_1-n_H}{n_3-n_H}=i_{13}^{H}\ (\text{由齿数确定的常数})$$
整理后 $n_H$（或任一轮转速）是另外两个转速的线性组合。课堂例 9-4 整理得到：
$$\boxed{n_H=\frac{1}{6}n_1+\frac{5}{6}n_3}$$
题目问当 $n_1$、$n_3$ 转向相同或相反时系杆 $H$ 的转速大小和方向：
- 转向相同：$n_1$、$n_3$ 取同号。代入 $n_1=200$、$n_3=50$（均取正）：
$$n_H=\frac{200+5\times50}{6}=\frac{450}{6}=75>0$$
系杆与轮 1、轮 3 同向转动。
- 转向相反：两者取异号，一般规定 $n_1$ 为正、$n_3$ 为负。代入 $n_1=200$、$n_3=-50$：
$$n_H=\frac{200+5\times(-50)}{6}=\frac{200-250}{6}=-\frac{50}{6}<0$$
结果为负，说明系杆转向与 $n_1$ 相反、与 $n_3$ 相同。
这正体现了差动轮系”运动合成”的能力：两个输入按齿数决定的系数加权合成一个输出（汽车差速器则反过来做”运动分解”，直线行驶和转弯时左右轮转速自动分配）。例 9-4 的具体齿数与系数[以教材为准]。
（九）复合轮系传动比（本章最大难点）
复合轮系既不能整体当定轴轮系、也不能整体当周转轮系，必须”先拆、再列、找关系、后联立”。
第一步：正确拆分基本轮系
- 从行星轮入手：先在图上找轴线不固定的齿轮，它必是某一周转轮系的行星轮（注意双联行星轮 $2$-$2’$ 要一起归到同一个周转轮系）；
- 把该行星轮、与它啮合的中心轮、以及支承它的系杆 $H$ 圈为一个周转轮系；
- 剩下轴线全部固定的齿轮归为一个或几个定轴轮系；
- 复杂机构可能含两个甚至更多周转轮系（如例 9-6 含 $H_1$、$H_2$ 两个系杆、两组行星轮），要分别圈出，不可漏。
第二步：对每个基本轮系分别列方程
- 定轴部分用定轴公式 $i=(-1)^m\dfrac{\prod z_{从}}{\prod z_{主}}$（空间部分画箭头）；
- 每个周转部分各写一个转化轮系方程 $i_{GK}^{H}=\dfrac{n_G-n_H}{n_K-n_H}=\cdots$。
第三步：找连接条件与”隐藏条件”
基本轮系方程列出后，未知数往往多于方程数，要靠机构装配关系补充：
- 同轴（同轴线）构件转速相等：同一根轴上的齿轮、以及固连在一起的构件转速相同，如 $n_1=n_{1’}$、$n_3=n_{3’}$、$n_2=n_{2’}$，系杆与某齿轮同轴固连时 $n_H=n_{\text{某轮}}$；
- 固定构件转速为 0：与机架固连的中心轮 $n=0$（如例 9-6 中 $n_6=0$、$n_9=0$），这些零转速要从图上读出来；
- 同轴中心距相等的配齿条件：同一系杆上，行星轮与两侧中心轮啮合的两段中心距必须相等。
- 两侧都是外啮合：$\dfrac{m}{2}(z_1+z_2)=\dfrac{m}{2}(z_{2’}+z_3)$，即 $z_1+z_2=z_{2’}+z_3$；
- 一侧外啮合、一侧内啮合（$2’$ 与内齿圈 3 啮合）：
$$\frac{m}{2}(z_1+z_2)=\frac{m}{2}(z_3-z_{2’})\ \Rightarrow\ \boxed{z_1+z_2=z_3-z_{2’}}$$
模数 $m$ 相同即可约掉。课堂把这类由图推出、题目不明说的齿数关系称为”隐藏条件（笔记条）“。
第四步：联立方程、消元求解
把同轴相等、固定为 0、配齿条件代入各基本轮系方程，消去中间轮转速，求出指定的首末轮传动比；结果为正说明首末轮同向，为负说明反向。代入数值时注意把所有中间转速统一归算到同一组编号上，不要张冠李戴（如把 $n_3$ 与 $n_{3’}$ 代错）。
典型例题脉络
- 例 9-5（复合轮系）：周转部分为 $1$-$2$-$2’$-$3$-$H$（$2$ 轴线不固定），定轴部分为 $3’$、$4$、$5$ 等；分别列 $i_{13}^{H}$ 和定轴传动比，用 $n_3=n_{3’}$、系杆与某轮同轴等条件联立，课堂结果 $i_{14}=-4.5$，负号说明轮 4 与轮 1 转向相反。
- 例 9-6（含两个行星轮系的复合轮系）：$4$-$5$-$6$-$5’$-$6’$-$H_1$ 为第一个周转轮系，$7$-$8$-$9$-$H_2$ 为第二个周转轮系，再与定轴齿轮相连；隐藏条件包括 $n_4=n_{4’}$、$n_{H1}$ 与某轮同轴、$n_6=0$、$n_9=0$ 等，逐个列出后联立。
- 课堂最后一道：定轴部分 $1$-$2$-$2’$-$3$ 与周转部分 $1’$-$4$-$3’$（系杆 $H$），用 $n_1=n_{1’}$、$n_3=n_{3’}$、$n_2=n_{2’}$ 把周转方程中出现的 $n_3$ 用定轴部分的 $n_3=n_{1’},i_{1’3’}$ 代换，最终消元求出 $i_{1H}$。
- 各例题的具体齿数、传动比数值[以教材例 9-5、9-6 原图和数据为准]。
判别小结
拿到图先问三句：①有没有轴线会动的轮？有→含周转轮系；②有没有轴线全固定的部分？有→含定轴轮系；③两者都有→复合轮系，按”拆—列—找—联”四步做；只有周转没有定轴，就仍是周转轮系。
（十）特殊行星传动简介（了解）
除上述普通行星传动外，工程上还有利用齿数很少的内、外齿轮相啮合实现超大传动比的渐开线少齿差行星传动、摆线针轮行星传动、谐波齿轮传动等，它们共同特点是传动比大、结构紧凑、体积小。课堂只要求了解，感兴趣可查阅相关资料。
四、例题与案例汇总
| 例题 | 类型 | 关键条件/数据 | 结果与方法 |
|---|---|---|---|
| 课前三级减速 | 空间轮系（锥齿+斜齿+蜗杆） | II、III 轴轴向力抵消 | 锥齿轴向力小端→大端；手则定旋向；蜗轮不能用手则、靠 $F_{a1}=-F_{t2}$；画箭头/点叉 |
| 例 9-1 | 空间定轴轮系 | 部分齿数已知，求 $i_{15}$、配齿 | 齿数连乘求大小；箭头法判向；未知齿数取最小整数比（往小取） |
| 多级定轴（1—5） | 平面定轴 | 双联齿轮 $n_2=n_{2’}$ 等 | $i_{15}=(-1)^m\prod z_{从}/\prod z_{主}$，中间转速约掉 |
| 大传动比行星 | 行星轮系，$n_3=0$ | $z_1=100,z_2=101,z_{2’}=100,z_3=99$ | $i_{H1}=10000$（同向） |
| 同上改齿 | 行星轮系 | 仅 $z_1$ 改 99 | $i_{H1}=-100$（反向） |
| 例 9-4 | 差动轮系 | $n_H=\tfrac16 n_1+\tfrac56 n_3$ | 同向 $n_1=200,n_3=50\Rightarrow n_H=75>0$；反向 $n_3=-50\Rightarrow n_H<0$ |
| 例 9-5 | 复合轮系 | 周转+定轴，同轴连接 | 联立得 $i_{14}=-4.5$（4 与 1 反向） |
| 例 9-6 | 复合（两个周转） | $H_1$、$H_2$，$n_6=n_9=0$ | 拆两个周转轮系+定轴，分别列式联立 |
| 配齿隐藏条件 | 周转/复合 | 同系杆两侧中心距相等 | 外+内啮合：$z_1+z_2=z_3-z_{2’}$ |
五、术语与公式速查表
| 项目 | 内容/公式 |
|---|---|
| 轮系分类 | 定轴轮系；周转轮系（行星、差动）；复合轮系 |
| 周转轮系构件 | 中心轮（太阳轮）1、3；行星轮 2（可双联 $2$-$2’$）；系杆/行星架 $H$ |
| 行星 vs 差动 | 一个中心轮固定（自由度 1）=行星；两中心轮都转（自由度 2）=差动 |
| 单级传动比 | $i_{12}=n_1/n_2=z_2/z_1$；外啮合反向取负、内啮合同向取正 |
| 平面定轴 | $i_{1k}=(-1)^m\prod z_{从}/\prod z_{主}$，$m$=外啮合次数 |
| 同轴双联 | $n_2=n_{2’}$，连乘时约去中间转速 |
| 空间定轴 | 大小照算；转向画箭头；首末平行才加正负，不平行只能画箭头 |
| 惰轮 | 齿数在分子分母约掉、不改变大小，每多一次外啮合改一次符号 |
| 反转法 | 整体叠加 $(-n_H)$，系杆静止，周转→定轴（转化轮系） |
| 转化转速 | $n_1^{H}=n_1-n_H$，$n_3^{H}=n_3-n_H$，$n_H^{H}=0$ |
| 转化传动比 | $i_{13}^{H}=(n_1-n_H)/(n_3-n_H)=(-1)^m\prod z_{从}/\prod z_{主}$ |
| 行星轮系 | 固定中心轮（如 $n_3=0$）代入即可解 $n_1$ 与 $n_H$ |
| 大传动比 | $n_3=0$、两外啮合：$i_{H1}=1/(1-r)$，$r=z_2z_3/(z_1z_{2’})$ |
| 差动轮系 | $n_H$ 为两中心轮转速线性组合，做运动合成/分解（差速器） |
| 复合四步 | 拆基本轮系→分别列方程→找同轴/固定/配齿隐藏条件→联立消元 |
| 配齿条件 | 外+内：$z_1+z_2=z_3-z_{2’}$；两外：$z_1+z_2=z_{2’}+z_3$ |
| 转向判定 | 代数量：规定正方向，结果正同向、负反向；正负是算出来的 |
| 特殊传动 | 渐开线少齿差、摆线针轮、谐波齿轮（大传动比、紧凑，了解） |
六、课堂任务 / 实训要点
- 能在机构简图上准确区分定轴、行星、差动和复合轮系，会指出中心轮、行星轮和系杆 $H$。
- 熟练写出平面定轴轮系传动比公式，会数外啮合次数 $m$、会利用同轴转速相等约去中间量。
- 空间轮系会用画箭头法逐轮判断转向，知道何时能加正负号、何时只能画箭头。
- 能完整复述反转法原理，正确书写并使用 $i_{13}^{H}=(n_1-n_H)/(n_3-n_H)$，不漏上标 $H$。
- 会解行星轮系（一个中心轮固定）传动比，理解大传动比 10000 与 $-100$ 例题的由来。
- 会用差动轮系方程做运动合成（例 9-4），掌握同向取同号、反向取异号的代数量处理。
- 复合轮系会按”拆—列—找—联”四步求解，能从图中读出同轴转速相等、固定轮为 0、中心距配齿等隐藏条件。
七、待核对 / 以教材为准（录音口语化处）
- 各例题（9-1、9-4、9-5、9-6 及课堂补充题）的具体齿数、编号和最终数值录音中多处为口语报数，本文已给出方法和课堂提到的关键结果（如 $i_{14}=-4.5$、$n_H=\tfrac16n_1+\tfrac56n_3$、10000 与 $-100$），其余数字[以教材第九章原图和数据为准]。
- 大传动比经典例的啮合布置（两个外齿中心轮 + 双联行星轮、转化后两次外啮合取正号）本文按与课堂结论（10000、$-100$）一致的方式给出，[教材原图构型请再核对]。
- 例 9-1 配齿比值（课堂口述为 $25:32$、可取 $50:64$ 一类）及”往小取整”原则，具体[以教材为准]。
- 复合轮系配齿条件 $\tfrac{m}{2}(z_1+z_2)=\tfrac{m}{2}(z_3-z_{2’})$ 适用于一侧外啮合、一侧内啮合（3 为内齿圈）的布置；若两侧均为外啮合则右边用加号，做题时务必按图判断内/外啮合。
- 空间周转轮系（含锥齿轮）的转化传动比符号应由画箭头法确定，本文公式中的 $(-1)^m$ 仅适用于转化后各轴平行的情形。
- 少齿差、摆线针轮、谐波传动只作了解，名称与结构以教材/手册为准。
八、复习自测（主动回忆，先自己答再看答案）
1. 什么是轮系？轮系分哪三大类？
答：由一系列齿轮通过啮合组成的传动系统；分定轴轮系、周转轮系、复合（混合）轮系。
2. 定轴轮系的根本特征是什么？双联齿轮固连在轴上会让它变成周转轮系吗？
答：所有齿轮轴线位置都固定；不会，双联齿轮与轴固连、轴本身仍固定，仍是定轴轮系。
3. 周转轮系中有哪三种基本构件？分别用什么编号/字母表示？
答：中心轮（太阳轮，常为 1、3）、行星轮（常为 2，可做成双联 $2$-$2’$）、系杆（行星架/转臂，用 $H$ 表示）。
4. 行星轮系和差动轮系怎么区分？自由度各是多少？
答：有一个中心轮固定的是行星轮系，自由度为 1；两个中心轮都能转动的是差动轮系，自由度为 2。
5. 什么是复合轮系？只有周转部分、没有定轴部分的机构能叫复合轮系吗？
答：由定轴轮系与周转轮系（或多个周转轮系）组合而成的叫复合轮系；只有周转部分时仍是周转轮系，不能叫复合。
6. 写出一对齿轮的传动比公式，并说明外、内啮合的符号。
答：$i_{12}=n_1/n_2=z_2/z_1$；外啮合转向相反取负，内啮合转向相同取正。
7. 写出平面定轴轮系传动比的一般公式，$m$ 指什么？
答：$i_{1k}=(-1)^m\dfrac{\prod z_{从动}}{\prod z_{主动}}$；$m$ 是外啮合次数，内啮合不计入。
8. 为什么多级轮系连乘后中间轴转速能约掉？
答：因为同一根轴上固连的双联齿轮转速相等（如 $n_2=n_{2’}$），它们在分子、分母中成对出现而约去。
9. 惰轮（介轮）对传动比大小和转向各有什么影响？
答：齿数在分子分母各出现一次被约掉，不影响传动比大小；但每多一次外啮合就乘一个 $(-1)$，会改变转向。
10. 空间定轴轮系（含锥齿轮、蜗杆）的转向为什么不能直接用 $(-1)^m$？应怎么判？
答：各轴不平行，$(-1)^m$ 失去统一的正负意义；要在图上逐对画箭头判转向，首末轴平行时才可据箭头加正负号，不平行时只能画箭头。
11. 周转轮系为什么不能直接套定轴公式？
答：行星轮轴线不固定，它既有自转又随系杆公转，不是绕固定轴的定轴传动，故需先用反转法转化。
12. 什么是转化轮系法（反转法）？
答：给整个轮系叠加一个公共转速 $(-n_H)$，使系杆 $H$ 相对静止（$n_H^H=0$），把周转轮系转化为定轴轮系，再用定轴公式计算相对传动比。
13. 写出转化后各轮转速，并写出 $i_{13}^{H}$ 的完整公式。
答：$n_1^H=n_1-n_H$，$n_3^H=n_3-n_H$，$n_H^H=0$；$i_{13}^H=\dfrac{n_1-n_H}{n_3-n_H}=(-1)^m\dfrac{\prod z_{从}}{\prod z_{主}}$（右边按转化轮系数外啮合次数）。
14. 写转化轮系公式时最容易漏掉什么？
答：最容易漏掉上标 $H$，把相对转速 $n^H$ 当成绝对转速 $n$；符号和齿数比也必须按”系杆固定后”的转化轮系来数。
15. 行星轮系（设 $n_3=0$）怎样求 $n_1$ 与 $n_H$ 的关系？
答：把 $n_3=0$ 代入 $\dfrac{n_1-n_H}{-n_H}=i_{13}^H$，整理即可在 $n_1$、$n_H$ 间求解。
16. 大传动比例中 $z_1=100,z_2=101,z_{2’}=100,z_3=99$，为什么能得到 $i_{H1}=10000$？
答：转化后两次外啮合取正，$r=\dfrac{101\times99}{100\times100}=\dfrac{9999}{10000}$，$n_3=0$ 时 $i_{H1}=\dfrac{1}{1-r}=10000$，系杆转 1 万圈轮 1 同向转 1 圈。
17. 上例只把 $z_1$ 改成 99，结果为什么变成 $-100$？说明什么？
答：$r=\dfrac{101\times99}{99\times100}=\dfrac{101}{100}$，$i_{H1}=\dfrac{1}{1-101/100}=-100$；说明齿数微调可使传动比剧变并改变转向，正负号必须靠计算确定。
18. 差动轮系为什么能做运动的合成与分解？
答：它自由度为 2，一个方程把三个转速 $n_1、n_3、n_H$ 联系起来，已知任意两个可求第三个，故能把两个输入合成为一个输出（或反向分解），如汽车差速器。
19. 例 9-4 中 $n_H=\tfrac16 n_1+\tfrac56 n_3$，当 $n_1=200、n_3=50$ 同向时 $n_H$ 是多少？方向如何？
答：$n_H=(200+250)/6=75>0$，系杆与两轮同向。
20. 上题若 $n_1=200$、$n_3=-50$（反向）呢？
答：$n_H=(200-250)/6<0$，系杆与 $n_1$ 反向、与 $n_3$ 同向。
21. 计算复合轮系传动比的四个步骤是什么？
答：①拆分基本轮系（先找轴线不固定的行星轮，圈出周转轮系，其余归定轴，注意多个系杆）；②对每个基本轮系分别列传动比方程；③找同轴转速相等、固定轮为 0、中心距配齿等隐藏条件；④联立消元求首末轮传动比。
22. 复合轮系中常见的”隐藏条件”有哪几类？
答：同轴固连构件转速相等（$n_1=n_{1’}$、$n_H=n_{\text{某轮}}$ 等）；与机架固定的中心轮转速为 0；同系杆两侧啮合中心距相等给出的配齿关系。
23. 一侧外啮合、一侧内啮合的行星轮系，配齿条件 $z_1+z_2=z_3-z_{2’}$ 是怎么来的？
答：由两侧中心距相等 $\tfrac{m}{2}(z_1+z_2)=\tfrac{m}{2}(z_3-z_{2’})$，模数相同约掉得到；内啮合中心距用两分度圆半径之差。
24. 复合轮系算出的传动比为正/为负分别表示什么？
答：为正表示首、末两轮转向相同，为负表示相反；转向是代数计算结果，不能凭图猜。
25. 拿到一个陌生轮系图，怎样最快判断它属于哪一类？
答：先找有没有轴线会动的轮（有→含周转，该轮即行星轮、支承件即系杆）；再看有没有轴线全固定的部分（有→含定轴）；两者都有即复合轮系，全是周转即周转轮系，轴线全固定即定轴轮系。
收尾记忆：轮系一章抓”一个公式、一种方法、一套流程“——定轴轮系用 $i_{1k}=(-1)^m\prod z_{从}/\prod z_{主}$（空间改画箭头）；周转轮系靠反转法，核心是 $i_{13}^{H}=\dfrac{n_1-n_H}{n_3-n_H}$（上标 $H$ 不漏、符号按转化轮系数）；复合轮系走”拆—列—找—联“四步，特别留意同轴等速、固定为 0、中心距配齿（$z_1+z_2=z_3-z_{2’}$）这些隐藏条件，最后由结果正负判转向。