带传动与链传动原理及设计课堂笔记
带传动与链传动原理及设计
一、核心结论
- 带传动的有效拉力等于紧边拉力与松边拉力之差：$F = F_1 - F_2$；紧边与松边拉力满足 $F_1 + F_2 = 2F_0$（$F_0$ 为初拉力）。
- 欧拉公式描述临界打滑时紧松边拉力比：$F_1/F_2 = e^{f\alpha}$，其中 $\alpha$ 必须用弧度代入。
- 带中存在三种应力：拉应力（紧边/松边不同）、弯曲应力（仅在包角范围内，小带轮更大）、离心应力（处处相等）；最大应力发生在小带轮紧边入口处：$\sigma_{\max} = \sigma_1 + \sigma_{b1} + \sigma_c$。
- 带传动的两种失效形式：打滑（过载引起，可避免）和疲劳破坏（应力循环引起，不可避免但可延缓）。
- 弹性滑动是带传动固有特性，不可避免；其根本原因是带的弹性变形 + 紧松边拉力差，导致从动轮圆周速度低于主动轮。打滑则是过载引起的全面滑动，可通过降低载荷避免。
- V带设计准则：在保证不打滑的前提下，使带具有足够的疲劳强度和寿命。设计流程为：计算功率 → 选型号 → 定直径 → 验算带速 → 初选中心距与带长 → 验算包角 → 算根数 → 算初拉力和轴上力。
- 链传动无弹性滑动，故平均传动比准确，但瞬时传动比不恒定；能在高温、多尘等恶劣环境工作，但噪声较大、有冲击。
二、知识结构
flowchart TD
A[带传动与链传动] --> B[带传动力分析]
A --> C[带的应力分析]
A --> D[失效形式]
A --> E[弹性滑动与打滑]
A --> F[V带传动设计]
A --> G[带轮设计与维护]
A --> H[链传动简介]
B --> B1[有效拉力 F=F1-F2]
B --> B2[初拉力关系 F1+F2=2F0]
B --> B3[欧拉公式 F1/F2=e^fα]
B --> B4[功率 P=Fv/1000]
C --> C1[拉应力 σ1/σ2]
C --> C2[弯曲应力 σb ∝ 1/D]
C --> C3[离心应力 σc=qv²/A 处处相等]
C --> C4[σmax 在小带轮紧边]
D --> D1[打滑 — 过载 可避免]
D --> D2[疲劳破坏 — 应力循环]
E --> E1[弹性滑动 不可避免]
E --> E2[打滑 可避免]
E --> E3[滑动率 ε 1%~2%]
F --> F1[Pca=KA·P]
F --> F2[选型号 A/B/C...]
F --> F3[定 d1/d2 验算 v]
F --> F4[选中心距和带长]
F --> F5[算根数 z/初拉力 F0/轴上力 FQ]
H --> H1[滚子链]
H --> H2[齿形链 更平稳]
三、详细笔记
3.1 带传动的力分析
三个基本公式
有效拉力（圆周力）：
$$F = F_1 - F_2$$
其中 $F_1$ 为紧边拉力，$F_2$ 为松边拉力。初拉力关系：
$$F_1 + F_2 = 2F_0$$
其中 $F_0$ 为初拉力（安装时的预紧力）。欧拉公式（临界打滑状态）：
$$\frac{F_1}{F_2} = e^{f\alpha}$$- $f$ 为当量摩擦系数（V带用当量摩擦系数 $f_v$）
- $\alpha$ 为包角，必须用弧度代入：$\alpha(\text{rad}) = \alpha(°) \times \frac{\pi}{180}$
- 因 $e^{f\alpha} > 1$，故 $F_1 > F_2$。
功率与力的关系
$$P = \frac{Fv}{1000} \quad (\text{kW})$$
其中 $v$ 为带速（m/s），$F$ 为有效拉力（N）。
3.2 带的应力分析
带在运转过程中受三种应力：
(1) 拉应力
$$\sigma_1 = \frac{F_1}{A}, \quad \sigma_2 = \frac{F_2}{A}$$
- $A$ 为带的横截面积
- 紧边拉应力 $\sigma_1$ > 松边拉应力 $\sigma_2$
- 沿带长分布：紧边段为 $\sigma_1$，经过小带轮包角时逐渐减小至 $\sigma_2$；松边段为 $\sigma_2$，经过大带轮包角时逐渐增大回 $\sigma_1$
(2) 弯曲应力
$$\sigma_b = \frac{E \cdot h}{D}$$
- $E$ 为带的弹性模量，$h$ 为带的厚度，$D$ 为带轮基准直径
- 仅在带与带轮接触的包角范围内存在
- $\sigma_b$ 与 $D$ 成反比：小带轮的弯曲应力大于大带轮（$\sigma_{b1} > \sigma_{b2}$）
- 在同一带轮的包角范围内，弯曲应力幅值相等
(3) 离心应力
$$\sigma_c = \frac{q v^2}{A}$$
- $q$ 为带的单位长度质量（kg/m），由带型号决定（如A型带 $q \approx 0.15$ kg/m）
- 沿带长处处相等，因为带速 $v$ 和 $q$ 均为常量
最大应力位置
$$\sigma_{\max} = \sigma_1 + \sigma_{b1} + \sigma_c$$
发生在带进入小带轮的紧边入口处。原因：
- 该位置紧边拉力 $F_1$ 最大 → 拉应力最大
- 小带轮直径 $d_1$ 最小 → 弯曲应力最大
- 离心应力处处相等，叠加后总应力最大
带上任一点随带循环运动，每经过一圈应力就变化一次，循环到一定次数即发生疲劳破坏。
3.3 带传动的失效形式
| 失效形式 | 产生原因 | 能否避免 | 后果 |
|---|---|---|---|
| 打滑 | 有效圆周力 > 极限摩擦力之和（过载） | 可避免（降低载荷/增大摩擦） | 加剧磨损，传动失效 |
| 疲劳破坏 | 应力循环次数超过极限 | 不可避免，可延缓（降低应力/选好材料） | 带断裂，传动失效 |
3.4 弹性滑动与打滑
弹性滑动的机理
带是弹性体，受拉力不同时弹性变形量不同：
- 小带轮侧：带从紧边进入（拉力 $F_1$），在包角内拉力逐渐降至 $F_2$，带逐渐收缩 → 带的速度逐渐小于小带轮圆周速度 $v_1$
- 大带轮侧：带从松边进入（拉力 $F_2$），在包角内拉力逐渐增至 $F_1$，带逐渐伸长 → 带的速度逐渐大于大带轮圆周速度 $v_2$
因此带与带轮之间产生微量相对滑动，称为弹性滑动。
速度关系
$$v_1 > v > v_2$$
- $v_1$：主动轮（小带轮）圆周速度
- $v$：带的实际速度（在包角内变化）
- $v_2$：从动轮（大带轮）圆周速度
- 从动轮速度落后于主动轮
滑动率与传动比
滑动率 $\varepsilon$ 定量描述弹性滑动程度：
$$\varepsilon = \frac{v_1 - v_2}{v_1} \times 100%$$
一般 $\varepsilon = 1% \sim 2%$，计算传动比时通常可忽略。
考虑滑动率时的传动比：
$$i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{d_2}{d_1(1-\varepsilon)}$$
[待核对：具体形式请对照教材公式6-21]
弹性滑动 vs 打滑
| 对比项 | 弹性滑动 | 打滑 |
|---|---|---|
| 产生原因 | 带的弹性变形 + 紧松边拉力差 | 过载，有效力 > 极限摩擦力 |
| 发生范围 | 包角内局部微量滑动 | 整个接触面全面滑动 |
| 能否避免 | 不可避免（固有特性） | 可避免（降低载荷即可） |
| 后果 | 速度损失、少量发热 | 严重磨损、传动失效 |
3.5 V带传动设计
设计准则
在保证不打滑的前提下，使带具有足够的疲劳强度和寿命。
单根V带基本额定功率 $P_0$
基于临界打滑条件和疲劳强度条件推导得出，具体数值查表（教材表6-4）。$P_0$ 与带型号、小带轮直径 $d_1$、小带轮转速 $n_1$ 有关。
设计步骤
第1步：计算计算功率
$$P_{ca} = K_A \cdot P$$
- $K_A$ 为工作情况系数，查表6-6（根据原动机类型、载荷变动、每天工作时长选取）
第2步：选择V带型号
根据 $P_{ca}$ 和小带轮转速 $n_1$，查教材65页选型图，落在哪个区域就选对应型号（Y/Z/A/B/C/D/E）。
第3步：确定带轮基准直径
- 小带轮 $d_1$：查教材表6-3选取标准值，且 $d_1 \geq d_{\min}$（如A型 $d_{\min}=75$ mm，Z型 $d_{\min}=50$ mm）
- 大带轮 $d_2$：由传动比计算
$$d_2 = d_1 \cdot \frac{n_1}{n_2} \cdot (1-\varepsilon)$$
建议取 $\varepsilon \approx 2%$
第4步：验算带速
$$v = \frac{\pi d_1 n_1}{60 \times 1000} \quad (\text{m/s})$$
要求 $5 \leq v \leq 25$ m/s。若 $v > 25$，减小 $d_1$；若 $v < 5$，增大 $d_1$。
第5步：初选中心距和基准长度
- 初选中心距 $a_0$，经验范围：
$$0.7(d_1 + d_2) \leq a_0 \leq 2(d_1 + d_2)$$ - 计算带的基准长度：
$$L_d \approx 2a_0 + \frac{\pi}{2}(d_1 + d_2) + \frac{(d_2 - d_1)^2}{4a_0}$$
[待核对：转写中未给出完整公式，此为标准公式] - 查教材表6-2（58页）选取最接近的标准基准长度 $L_d$
第6步：计算实际中心距
$$a \approx a_0 + \frac{L_d - L_{d0}}{2}$$
[待核对：转写中未明确公式形式]
第7步：验算小带轮包角
$$\alpha_1 = 180° - \frac{d_2 - d_1}{a} \times 57.3°$$
一般要求 $\alpha_1 \geq 120°$
第8步：计算V带根数
$$z = \frac{P_{ca}}{(P_0 + \Delta P_0) K_\alpha K_L}$$
- $P_0$：单根带基本额定功率（表6-4）
- $\Delta P_0$：传动比 $i \neq 1$ 时的功率增量（表6-5）
- $K_\alpha$：包角系数（表6-7，67页）
- $K_L$：带长系数（表6-2，58页）
- 根数 $z$ 应向上取整（如算得3.66则取4）
第9步：计算初拉力
$$F_0 = 500 \cdot \frac{P_{ca}}{zv} \left(\frac{2.5}{K_\alpha} - 1\right) + qv^2$$
[待核对：转写中未完整写出公式，此为标准公式形式]
- $q$ 为带单位长度质量（表6-1，57页），如A型带 $q = 0.15$ kg/m
第10步：计算轴上载荷
$$F_Q = 2zF_0 \sin\frac{\alpha_1}{2}$$
用于后续轴的设计校核。
3.6 带轮设计
材料
| 材料 | 适用场景 |
|---|---|
| 铸铁（HT150/HT200） | 最常用，铸造性好 |
| 铸钢 | 速度较高时 |
| 铸铝 / 塑料 | 小功率场合 |
结构组成
带轮由三部分组成：
- 轮缘：最外圈，与带接触的部分（有轮槽）
- 轮毂：中间与轴配合的部分
- 轮辐：连接轮缘和轮毂的部分
结构形式
| 形式 | 特点 |
|---|---|
| 实心式 | 小直径带轮，中间全实心 |
| 腹板式 | 中等直径，轮辐为薄板 |
| 孔板式 | 在腹板式基础上打孔减重 |
| 轮辐式 | 大直径，类似汽车轮辐结构（最常见） |
3.7 带传动的使用与维护
- 避免带与酸碱等腐蚀性物质接触
- 避免暴晒，防止带老化变形
- 更换带时应成组更换（同组带一起换），不能只换其中一根
- 同组带应尽量使用同品牌同型号，避免性能差异
- 工作一段时间后带会松弛，需重新张紧
- 张紧装置：滑台式（通过移动电机位置调整中心距实现张紧）
3.8 链传动简介
同步带（带齿的带）
带和带轮都有齿，靠啮合传动，传动比恒定。
链传动的特点
优点：
- 无弹性滑动，平均传动比准确
- 不需要很大的张紧力，作用在轴上的力较小
- 能在高温、多尘等恶劣环境下工作
缺点：
- 瞬时传动比不恒定（注意：平均传动比准确 ≠ 瞬时传动比恒定）
- 工作时噪声较大
- 突然加载时可能跳齿或断链（如久放的自行车猛踩）
- 仅适用于两轴平行的场合
链的类型
| 类型 | 特点 |
|---|---|
| 滚子链 | 最常见（如自行车链条），带滚子减少磨损 |
| 齿形链（无声链） | 齿形啮合，传动更平稳、噪声更小，但结构复杂、成本高 |
四、例题
例题1：教材73页习题6-3（力分析计算）
题设 [待核对：部分数字转写不清]：
- 有效拉力 $F = 412$ N
- 主动轮直径 $d_1 = 140$ mm
- 主动轮转速 $n_1 = 1440$ r/min
- 包角 $\alpha_1 = 150°$
- 当量摩擦系数 $f_v$ [待核对：转写中未给出具体值]
- 求：$F_1$、$F_2$、功率 $P$
解题思路：
- 已知 $F = F_1 - F_2$（有效拉力）
- 已知 $F_1 + F_2 = 2F_0$（初拉力关系）
- 欧拉公式：$F_1/F_2 = e^{f_v \alpha_1}$（注意 $\alpha_1$ 转弧度）
- 三个方程联立求解 $F_1$、$F_2$
- 由 $P = Fv/1000$ 计算功率，其中 $v = \pi d_1 n_1 / (60 \times 1000)$
例题2：V带传动完整设计例题
设计要求 [待核对：部分参数转写不清]：
- 传递功率 $P = 4$ kW
- 小带轮转速 $n_1 = 1440$ r/min
- 大带轮转速 $n_2$ [待核对：转写中未明确]
- 每天工作16小时
- 中心距尽量 $< 650$ mm
- 原动机：三相异步电动机，Y型连接，载荷变动较小
设计过程：
① 计算功率
$K_A = 1.2$（查表6-6：空载起动电动机、载荷变动小、16h/天）
$P_{ca} = K_A \cdot P = 1.2 \times 4 = 4.8$ kW
② 选型号
根据 $P_{ca}=4.8$ kW 和 $n_1=1440$ r/min，查65页选型图 → 选 A型 V带
③ 确定基准直径
$d_1 = 100$ mm（A型最小75 mm，选标准值100）
$d_2 = d_1 \cdot \frac{n_1}{n_2} \cdot (1-\varepsilon)$，取 $\varepsilon=2%$
[待核对：$d_2$ 具体数值转写中未清晰给出]
④ 验算带速
$v = \frac{\pi d_1 n_1}{60 \times 1000} \approx 7.5$ m/s
在 5~25 m/s 范围内，合格。
⑤ 初选中心距与带长
初选 $a_0 = 450$ mm
计算得带长约 $L_d \approx 1650$ mm
查表6-2选标准值 → $L_d = 1640$ mm
⑥ 实际中心距
计算得 $a \approx 440$ mm，满足 $< 650$ mm 的要求。
⑦ 包角
$\alpha_1 \approx 147°$
⑧ 查系数并算根数
- $P_0 = 1.32$ kW（表6-4，A型，$d_1=100$，$n_1=1450$ 列）
- $\Delta P_0 \approx 0.16 \sim 0.17$ kW（表6-5，A型，$i \geq 2$，$n_1=1450$）
- $K_\alpha \approx 0.90 \sim 0.92$（表6-7，$\alpha_1=147°$）
- $K_L = 0.99$（表6-2，$L_d=1640$）
$$z = \frac{4.8}{(1.32 + 0.16) \times 0.91 \times 0.99} \approx 3.66 \rightarrow \text{取 } z = 4$$
⑨ 初拉力与轴上力
- $q = 0.15$ kg/m（A型带，表6-1）
- 代入公式计算 $F_0$ [待核对：具体数值转写中未给出]
- 计算轴上力 $F_Q = 2zF_0\sin(\alpha_1/2)$ [待核对：具体数值转写中未给出]
五、术语与公式
符号表
| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| $F_1$ | 紧边拉力 | N | |
| $F_2$ | 松边拉力 | N | |
| $F$ | 有效拉力（圆周力） | N | $F = F_1 - F_2$ |
| $F_0$ | 初拉力 | N | $F_1 + F_2 = 2F_0$ |
| $P$ | 传递功率 | kW | |
| $P_{ca}$ | 计算功率 | kW | $P_{ca}=K_A P$ |
| $P_0$ | 单根V带基本额定功率 | kW | 查表 |
| $v$ | 带速 | m/s | 推荐 5~25 |
| $d_1, d_2$ | 小/大带轮基准直径 | mm | |
| $\alpha_1$ | 小带轮包角 | ° 或 rad | 欧拉公式中用rad |
| $\sigma_1, \sigma_2$ | 紧/松边拉应力 | MPa | |
| $\sigma_b$ | 弯曲应力 | MPa | $\sigma_b = Eh/D$ |
| $\sigma_c$ | 离心应力 | MPa | $\sigma_c = qv^2/A$，处处相等 |
| $\sigma_{\max}$ | 最大应力 | MPa | 小带轮紧边入口处 |
| $\varepsilon$ | 滑动率 | % | 一般 1%~2% |
| $i$ | 传动比 | — | $i = n_1/n_2$ |
| $q$ | 带单位长度质量 | kg/m | A型≈0.15 |
| $z$ | V带根数 | — | 向上取整 |
| $K_A$ | 工作情况系数 | — | 查表6-6 |
| $K_\alpha$ | 包角系数 | — | 查表6-7 |
| $K_L$ | 带长系数 | — | 查表6-2 |
易混淆概念
- 传动比准确 vs 传动比恒定：链传动平均传动比准确，但瞬时传动比不恒定。
- 弹性滑动 vs 打滑：弹性滑动是局部微量、不可避免；打滑是全面滑动、过载引起、可避免。
- V带的当量摩擦系数 $f_v$ 大于平带的摩擦系数 $f$，因此V带传动能力更强。